Теория механизмов и машин 2 страница

Пример. Определение скоростей точек звена, входящего во вращательную пару с другим звеном (рис. 3.3.12).

Пусть заданы: – вектор скорости точки А (см. рис. 3.3.12, а); w_АВ – угловая скорость звена АВ.

Требуется определить: скорости точек В и С (V_B, V_С ).

В соответствии с теоремой сложения скоростей, абсолютная скорость (V_B) точки равна геометрической сумме переносной (V_A) и относительной (V_ВА) скоростей этой точки:

, (3.3.1)

где V_BA = w_AB l_AB – относительная скорость точки В во вращательном движении вокруг точки А; вектор V_BA направлен перпендикулярно звену АВ (т. е. радиусу вращения).

2. Аналогично

, (3.3.2)

где V_CA = w_AB l_AC; вектор этой скорости направлен перпендикулярно звену АС (V_CA ^ AC).

3. Построим векторные уравнения (3.3.1) и (3.3.2).

Выбираем произвольную точку р – полюс плана скоростей и откладываем в направлении вектора V_A отрезок произвольной длины ра (см. рис. 3.3.12, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента плана скоростей:

m_у = V_А/ра. (3.3.3)

Строим вектор . Из точки а проводим прямую, перпендикулярную аb, и откладываем отрезок аb в масштабе, учитывая при этом направление угловой скорости w_АВ:

. (3.3.4)

Суммарный вектор – абсолютная скорость точки В – определится отрезком рb:

. (3.3.5)

Аналогично находим скорость точки с: из точки а в направлении, перпендикулярном ас, откладываем относительную скорость с учетом масштабного коэффициента:

ac = w_ABl_AC /m_V. (3.3.6)

Соединяем полюс с полученной на плане скоростей точкой с. Измерив на плане величину отрезка рс, находим значение абсолютной скорости точки с:

(3.3.7)

Скорость точки С можно определить, приняв движение точки в за переносное:

(3.3.8)

На плане скоростей вектор pb изображает скорость точки в; относительная скорость V_cb – это вектор bc , направленный перпендикулярно стороне звена ВС (см. рис. 3.3.12, а). Соединив точки b и с, получим на плане скоростей графическое изображение уравнения (3.3.8).

Сравнивая треугольники ABC и аbс на рис. 3.3.12, можно заметить, что эти фигуры подобны и сходственны, т. к. стороны их взаимно перпендикулярны и отрезки ab, ас, bс пропорциональны длинам сторон звена АВ, АС, ВС.

Выводы:

1. На плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости соответствующих точек.

2. Векторы относительных скоростей направлены на плане скоростей к первой букве индекса. Например, V_CB – скорость точки С относительно В. На плане скоростей читается наоборот: отрезок bc , а вектор направлен к точке с.

3. Векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90° в направлении угловой скорости звена.

Последний вывод называется принципом подобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звена графически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена.

Планы ускорений плоских механизмов.Чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма в данном положении, называется планом ускорений.

Рассмотрим решение двух задач об определении ускорений точек звеньев, образующих кинематические пары 5-го класса, аналогично решению задач о скоростях.

Пример. Определите ускорение точек звена, входящего во вращательную пару (рис. 3.3.13).

При построении плана ускорений считается, что все скорости известны, т. е. план скоростей механизма для данного положения уже построен.

– ускорение точки А; – угловое ускорение звена ABC.

Решение.

1. Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения ( ) и относительного ускорения ( ) во вращательном движении точки В вокруг А (см. рис. 3.3.13, а):

. (3.3.9)

2. Поскольку относительное движение вращательное, выражение (3.3.9) можно записать в виде

, (3.3.10)

где – нормальное ускорение в относительном движении, направленное по радиусу вращения (АВ) к центру вращения (точке А);

– касательное ускорение в относительном движении, направленное перпендикулярно радиусу вращения.

3. Построим уравнение (3.3.10) в виде суммы векторов (см. рис. 3.3.13, б). Выбираем точку p – плюс плана ускорений. Откладываем из полюса вектор отрезка произвольной длины pа, направленного параллельно вектору . Определяем масштабный коэффициент:

m_а = а_А/pа. (3.3.11)

Из точки а откладываем в направлении к центру вращения с учетом масштаба вектор нормального ускорения (an÷ïBA). Величина отрезка an определяется соотношением

. (3.3.12)

От полученной точки n в направлении, перпендикулярном АВ, откладываем отрезок nb, изображающий в масштабе касательную, составляющую относительного ускорения:

. (3.3.13)

Направление вектора nb определяется с учетом направления углового ускорения (в данном примере – вниз).

Соединяя точку п с точкой b, получаем результирующий вектор, который изображает абсолютное ускорение точки В (см. уравнение (3.3.10)):

. (3.3.14)

Аналогично строятся векторные уравнения для точки С (см. рис. 3.3.13):

; (3.3.15)

. (3.3.16)

4. Определим значения полных относительных ускорений:

. (3.3.17)

5. С учетом известных из теоретической механики формул (см. значения величин, входящих в уравнение (3.3.10))

. (3.3.18)

Аналогично

; (3.3.19)

. (3.3.20)

6. Определим тангенс угла, определяющего направление полного относительного ускорения (см. рис. 3.3.12, а):

. (3.3.21)

Из формулы (3.3.21) следует, что tgj не зависит от того, какая точка звена рассматривается, и одинаков для всех относительных ускорений.

Из выражений (3.3.18) – (3.3.21) следует, что относительные ускорения точек звена ABC пропорциональны длинам сторон и повернуты на один и тот же угол. Следовательно, Dabc в плане ускорений и DАВС (жесткое звено) подобны и сходственны.

Этим определяется принцип подобия в плане ускорений.

Векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно его на угол (180° – j) в направлении углового ускорения.

Зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можно определить ускорение любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия.

Тема 4. Силовой анализ и расчет механизмов

Задачи и методы силового анализа. Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизма, на кинематические пары и на неподвижные опоры.

Исследование действия сил необходимо для того, чтобы можно было рассчитать звенья на прочность, износостойкость, виброустойчивость, чтобы определить необходимую мощность привода.

В результате силового анализа можно определить пути уменьшения динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела достаточную прочность при меньших габаритах и массе.

Если звенья в процессе работы движутся неравномерно, то, кроме внешних сил, на них действуют еще и силы инерции. Величина сил инерции зависит от ускорения, а значит, от закона движения начального звена.

Классификация сил, действующих в механизмах. Все силы, действующие в механизмах, условно подразделяются на:

1. Внешние силы – силы, действующие на исследуемую систему со стороны внешних систем и совершающие работу над системой. Эти силы в свою очередь подразделяются на:

- движущие – силы, работа которых положительна (увеличивает энергию системы);

- сопротивления – силы, работа которых отрицательна (уменьшает энергию системы). Силы сопротивления делятся на:

- силы полезного (технологического) сопротивления – силы, возникающие при выполнении механической системы ее основных функций (выполнение требуемой работы по изменению координат, формы или свойств изделия и т.п.);

- силы трения (диссипативные) – силы, возникающие в месте связи в КП и определяемые условиями физико-механического взаимодействия между звеньями (работа всегда отрицательна);

- взаимодействия с потенциальными полями (позиционные) – возникают при размещении объекта в потенциальном поле, величина зависит от потенциала точки, в которой размещается тело (работа при перемещении из точки с низким потенциалом в точку с более высоким – положительна; за цикл, т.е. при возврате в исходное положение, работа равна нулю). Потенциальное поле – силы тяжести или веса. Существуют электромагнитные, электростатические и другие поля.

2. Внутренние силы– силы, действующие между звеньями механической системы. Работа этих сил не изменяет энергии системы. В механических системах эти силы называются реакциями в КП.

3.Расчетные (теоретические) силы– силы, которые не существуют в реальности, а только используются в различных расчетах с целью их упрощения:

- силы инерции – силы, предложеннеы Даламбером для силового расчета подвижных механических систем. При добавлении этих сил к внешним силам, действующим на систему, устанавливается квазистатическое равновесие системы и ее можно рассчитывать, используя уравнения статики (метод кинетостатики);

- приведенные (обобщенные) силы – силы, совершающие работу по обобщенной координате равную работе соответствующей реальной силы на эквивалентном перемещении точки ее приложения.

Необходимо отметить, что под силами понимаются равнодействующие соответствующих распределенных в месте контакта КП нагрузок. Все вышесказанное относительно сил распространяется и на моменты сил.

Силовой расчет типовых механизмов. Постановка задачи силового расчета: для исследуемого механизма при известных кинематических характеристиках и внешних силах необходимо определить уравновешивающую силу или момент (управляющее силовое воздействие) и реакции в кинематических парах механизма.

Виды силового расчета:

- статический – расчет, производимый для механизмов, находящихся в покое или движущихся с малыми скоростями, когда инерционные силы пренебрежимо малы, или в случаях, когда неизвестны массы и моменты инерции звеньев механизма (на этапах, предшествующих эскизному проектированию);

Уравнения статического равновесия:

где F_i – внешние силы, приложенные к механизму или его звеньям;

M_i – внешние моменты сил, приложенные к механизму или его звеньям.

- кинетостатический – для движущихся механизмов при известных массах и моментах инерции звеньев, когда пренебрежение инерционными силами приводит к существенным погрешностям; реакции в кинематических парах определяются в соответствии с принципом Даламбера: механическая система условно считается находящейся в равновесии, если к системе внешних сил добавлены силы инерции и их моменты. Это позволяет определять реакции в КП механизма, используя уравнения статики теоретической механики.

Уравнения кинетостатического равновесия:

,

где F_i, M_i – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i-му звену;

F_иi – инерционные силы, приложенные к звеньям;

M_иi – моменты сил инерции, приложенные к звеньям.

Кинетостатический расчет с учетом трения может быть проведен, когда определены характеристики трения в КП и размеры элементов пар.

Следует, однако, помнить, что звенья реального механизма находятся в движении и, следовательно, в действительности никакого равновесия нет, поэтому принцип Даламбера следует рассматривать как расчетный прием.

Для того чтобы воспользоваться методом кинетостатики при силовом расчете, необходимо определить силы инерции. Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору F_и и главному моменту М_и:

где m – масса звена;

а_s – ускорение центра масс;

e – угловое ускорение звена;

J_s – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции).

Знак «минус» в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил – против углового ускорения).

Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.

В частных случаях плоское движение может быть вращательным или поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравномерное движение).

Поступательное движение звена.Прямолинейное, возвратно-поступательное движение совершают поршни, ползуны, золотники, клапаны, иглы в швейных машинах. Главный вектор сил инерции (F_и) приложен в центре масс (S) звена.

Плоскопараллельное движение звена. Этот вид движения совершают в машинах различного рода шатуны, перекатывающиеся рычаги и т. п. Движение звена может быть представлено как суперпозиция двух независимых элементарных движений – поступательного с ускорением (a_s) центра масс и вращательного вокруг центра масс (S) с угловым ускорением (e). Силы инерции приводятся к двум составляющим: главному вектору (F_и), приложенному в центре масс (S), и главному моменту сил инерции (М_и), направленному против углового ускорения e звена. Для удобства расчетов при графическом методе две векторные величины F_и и М_и приводят к одной приведенной силе инерции .

Вращательное движение звена. Случай неуравновешенных звеньев. К звеньям этого типа относятся те части машин, которые совершают вращательные движения, но общий центр тяжести не лежит на оси вращения. Это различного рода кривошипы, поводки, кулисы, неравноплечие коромысла и т. п. К звену приложены главный вектор силы инерции (F_и) в центре тяжести (S) звена и главный момент силы инерции (М_и).

Частные случаи вращения:

1. w = const (равномерное вращение), тогда М_и = 0, .

2) w = 0,e ¹ 0 – случай начала движения или остановки, а также случай мертвых положений при качательном движении звена механизма; тогда F_и = ma_s = meL; M_и = J_se = mw²l.

Случай уравновешенных звеньев.Это звенья, центр тяжести которых находится на оси вращения. К ним относятся роторы электрических машин, диски и рабочие колеса турбин, шкивы, маховики, зубчатые колеса, барабаны и т. п. Ускорение центра масс равно нулю (a_s = 0), т. е. F_и = 0. Весь динамический эффект сводится к главному моменту сил инерции: M_и = J_se ¹ 0М. При этих условиях будут отсутствовать изгиб вала и нагрузка на подшипники. На валу остается динамическая нагрузка на кручение от момента (М_и). Частные случаи вращения:

1. w = const, e = 0 (равномерное вращение), тогда F_и = 0, М_и = 0 – никакого внешнего динамического эффекта не будет.

2. w = 0, e ¹ 0 (начальное движение или мертвые положения), тогда F_и = 0, М_и ¹ 0.

Силы в кинематических парах плоских механизмов (без учета трения). Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар 5-го класса (вращательных, поступательных) и пар 4-го класса (высших, у которых звенья соприкасаются в точке).

Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности. Сила, как векторная величина, характеризуется относительно звеньев механизма тремя параметрами: координатами точки приложения, величиной и направлением. Рассмотрим с этих позиций реакции в кинематических парах плоских механизмов.

1. Поступательная кинематическая пара.

В поступательной кинематической паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают относительное поступательное движение по оси y и относительное вращение. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию F_ij и реактивный момент M_ij (рис. 3.3.14).

При силовом расчете поступательной кинематической пары определяются:

- реактивный момент M_ij;

- величина реакции F_ij.

Известны: точка приложения силы – геометрический центр кинематической пары (A_1п) и направление – нормаль к контактирующим поверхностям звеньев. Число связей в кинематической паре (S^пл) равно 2, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 1, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равна 2.

2. Вращательная кинематическая пара.

Во вращательной кинематической паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают относительное поступательное движение по осям y и x. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию F_ij (рис. 3.3.15).

При силовом расчете поступательной кинематической пары определяются:

- направление реакции F_ij;

- величина реакции F_ij;

Известны: точка приложения силы – геометрический центр кинематической пары (B_1В)_.. Число связей в КП (S^пл) равно 2, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 1, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равно 2.

3. Высшая кинематическая пара.

В высшей паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают движение в направлении нормали к контактирующим поверхностям (ось y). Заменяя эту связь реакцией, получим реакцию F_ij (рис. 3.3.16).

Если известны точка приложения силы – точка контакта рабочих профилей кинематической пары (С_2вп); направление вектора силы – контактная нормаль к профилям, то число связей в кинематической паре (S^пл) равно 1, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 2, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равно 1.

В общем случае плоская кинематическая цепь содержит Р₅ пар 5-го класса (низших) и Р₄ пар 4-го класса (высших), поэтому общее число неизвестных равно

N_H = 2P₅ + P₄. (3.3.22)

Для определения числа неизвестных, а следовательно, и числа независимых уравнений при силовых расчетах необходимо провести структурный анализ механизма и определить число и классы кинематических пар, число основных подвижностей механизма, число избыточных связей. Чтобы силовой расчет можно было провести, используя только уравнения кинетостатики, необходимо устранить в нем избыточные связи. В противном случае, к системе уравнений кинетостатики необходимо добавить уравнения деформации звеньев, необходимые для раскрытия статической неопределимости механизма. Так как каждая связь в КП механизма соответствует одной компоненте реакции, то число неизвестных компонент реакций равно суммарному числу связей накладываемых КП механизма. Уравновешивающая сила или момент должны действовать по каждой основной подвижности механизма. Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно 3, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев запишем в следующем виде:

N_у = 3n. (3.3.23)

Чтобы система была статически определимой, число уравнений (N_у) должно быть равно числу неизвестных (N_H). Приравниваем уравнения (3.3.22) и (3.3.23), после чего получаем:

3n = 2Р₅ + Р₄; 3n – 2Р₅ – Р₄ = 0. (3.3.24)

Если заменить высшие пары низшими, то получим

3n – 2Р₅ = 0.

Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура являются статически определимыми.

Из выражения (3.3.24) определяем соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар 5-го класса:

.

На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчет следует проводить по структурным группам, начиная с наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном (механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке, обратном кинематическому.

Графический метод кинетостатического анализа рычажных механизмов. Графическое определение реакций или динамических давлений в кинематических парах плоских рычажных механизмов методом планов сил относится к задаче кинетостатического расчета механизмов. Исходными данными являются:

1. Кинематическая схема механизма.

2. Массы и моменты инерции звеньев относительно центров масс, положение центров масс.

3. Угловая скорость (w₁) и угловое ускорение (e₁) входного звена.

4. Сила (F_c) или момент сопротивления (М_с), приложенные к ведомому звену.

5. Силы тяжести всех звеньев.

При решении задач кинетостатики связанных систем применение принципа Даламбера производится совместно с принципом освобождаемости: т.е., не нарушая движения или покоя системы, отбрасываются отдельные связи и прикладываются к системе соответствующие этим связям реакции.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа освобождаемости приводит к следующим уравнениям кинетостатики для каждой из групп Ассура:

(3.3.25)

(3.3.26)

где F_i, M_i – внешние силы и моменты сил, действующие на звенья структурной группы;

F_и, М_и – главные векторы и главные моменты сил инерции звеньев;

– реакции связей;

М₀(F_i), М₀(F_и), М₀( ), – моменты перечисленных групп сил каждого звена.

Центр приведения выбирается из удобства расчетов, чаще всего относительно внутреннего шарнира структурной группы.

Векторное уравнение (3.3.25) заменяет два алгебраических уравнения равенства нулю суммы проекций сил на оси х и у, оно решается методом построения плана сил.

При обозначении реакций применяют систему двойных индексов, например, R₂₁. Первый индекс обозначает номер звена, к которому приложена реакция, второй индекс – номер звена, отброшенного от рассматриваемого звена и замененного реакцией (т. е. звена 1, действующего на звено 2).

При силовом анализе используют третий закон Ньютона: действие силы всегда сопровождается равным ей противодействием, т, е. силы, с которыми два тела (звена) действуют друг на друга, всегда равны по величине и направлены в противоположные стороны:

.

Большинство многозвенных плоских рычажных механизмов образовано наслоением двухповодковых групп Ассура, которые имеют три наиболее часто встречающиеся вида.

1. Двухповодковая группа с вращательными кинематическими парами.

2. Двухповодковая группа с двумя вращательными парами и одной внешней поступательной парой.

3. Двухповодковая группа с двумя вращательными кинематическими парами и одной внутренней поступательной парой.

Силовой расчет начального звена. Для того чтобы привести механизм в движение и выполнить полезную работу, необходимо выбрать мощность двигателя, которая обеспечила бы вращение начального звена с определенной скоростью. При постоянной скорости вращения движущая сила (момент сил) должна уравновешивать все силы, приложенные к начальному звену. Поэтому в задачу силового расчета начального звена, кроме определения реакций, входит еще и определение внешнего силового фактора. Если передача энергии осуществляется через зубчатый редуктор, то внешний силовой фактор представляет собой силу (F_y), действующую по нормали к рабочей поверхности зуба (рис. 3.3.17, а). В соответствии с геометрией стандартных зубчатых колес нормаль в точке касания зубьев образует угол a = 20° с перпендикуляром к межосевому расстоянию.