Вывод соотношений, используемых при оценке погрешностей измерения электрических величин

Отличительной особенностью измерения является то, что результат, будучи полученным, уже не может быть уточнен, поэтому процедуру измерения необходимо предварительно планировать, т.е. разрабатывать программу и проводить измерения по строго регламентированным правилам для обеспечения гарантированного качества измерительной информации (ИИ) – информации о значениях измеряемых физических величин (ИВ). Основными показателями качества ИИ, определяющими степень пригодности её к применению, являются точность и достоверность.

Точность – качество измерений, отражающее близость их результатов к истинному значению ИВ. Высокая точность соответствует малой погрешности и количественно может выражаться обратной величиной модуля относительной погрешности │δ│ (отношение абсолютной погрешности Δ к истинному значению ИВ).

Достоверность – качество измерений, отражающее степень соответствия результата истинному значению ИВ.

Следует отметить, что измерения, проводимые в соответствии с разделом «Задание на эксперимент» в данном пособии, являются либо прямыми, либо косвенными. В первом случае результат измерения находится из опытных данных по шкале прибора непосредственной оценки (измерение напряжения, тока или сопротивления прибором В7-35) и оценка погрешности результата производится с использованием метрологических характеристик применяемых средств измерений (см. раздел 1.2.3, 1.3.1, 1.4.1). В качестве примера в разделе 1.4.3 проводится оценка погрешности результата измерения напряжения.

При косвенных измерениях результат Y находится по известной функциональной зависимости Y=Y(X₁), связывающей ИВ с величинамиX₁, подвергаемыми прямым измерениям (определение тока в ветви с использованием результатов прямых измерений сопротивления резистора и падения напряжения на нем – п.1.3 раздела «Задание на эксперимент»).

Абсолютная систематическая погрешность результата косвенных измерений Δ_с(Y) рассчитывается по формуле:

(П1.1),

где Δ_с(X₁) – абсолютная систематическая погрешность результата прямого измерения величины X₁.

Данный тип погрешности можно исключить, используя такие приемы, как:

- устранение причин появления (установка «0», предварительная калибровка, термостатирование, стабилизация питания и т.п.);

- введение поправки (исключается известная по знаку и значению погрешность);

- замещение ИВ эталонной;

- компенсация по знаку (исключается неизвестная по значению погрешность с направленным действием – погрешность от воздействия статических электрических и магнитных полей, например);

- рандомизация – перевод систематических погрешностей в разряд случайных.

Случайные погрешности можно оценить лишь на основе обработки ряда многократных наблюдений, пользуясь методами математической статистики и теории вероятностей.

Предельно допускаемая абсолютная случайная погрешность результата косвенных измерений Δ(Y) (погрешность с доверительной вероятность 0,95) рассчитывается по формуле:

(П1.2),

где Δ(X₁) – предельно допускаемая абсолютная случайная погрешность результата прямого измерения величины X₁.

Необходимо отметить, что соотношение П1.2 справедливо лишь для погрешностей, имеющих нормальное распределение.

Ниже выводятся формулы, используемые для оценки погрешностей осциллографических измерений напряжения, временного интервала и фазового сдвига, выполняемых методом калиброванной шкалы, причем учитываются лишь те составляющие общей погрешности, которые вносят соизмеримый вклад в её формирование.

Процедура измерения напряжения сводится к определению количества основных и промежуточных вертикальных делений N_в в пределах измеряемого параметра и умножению его на коэффициент вертикального отклонения К₀ осциллографа, т.е. U=N_в·К₀ (см. рис. 2.7 и примечание к разделу 2.1.4).

С учетом (П.1.2) получаем:

, где N_внаходится как разность двух отчетов n_в2 и n_в1.

В случае превалирования погрешности, связанной с неточностью отсчета в пределах толщины луча в, Δ(n_в) принимает значение, равное ±1/2в’ (в’ – толщина луча в точках отсчета;в’= в/cosβ₁ и в’= в/cosβ₂для n_в1 и n_в2, соответственно). Т.к. N_в= n_в2-n_в1, то с учетом (П1.2) будем иметь:

.

Окончательно для абсолютной погрешности измерения напряжения получаем:

(П1.3).

Соотношение для оценки относительной погрешности измерения принимает следующий вид:

(П1.4).

Аналогично выводятся формулы для оценки погрешности измерения временного интервала, т.е. Δt, получаемого путем умножения количества горизонтальных делений N_г в пределах измеряемого параметра на длительностьразвертки Д_р. В частности, относительна погрешность определяется, как

(П1.5)

При нахождении фазового сдвига необходимо воспользоваться формулой φ=180°N_г’/N_г (рис.2.7) или φ=360°fД_рN_г’(рис.12).

Для первого варианта с учетом (П1.2) получаем:

Здесь: .

Следовательно

(П1.6),

для второго варианта

(П1.7).

При измерении фазового сдвига по фигуре Лиссажу расчет производится по формуле φ=arcsin(y/Y), где y=y₁-y₂иY=Y₁-Y₂ (рис.2.4). С учетом (П1.2) предельное значение абсолютной погрешности измерения фазового сдвига определяется, как:

.

Погрешности отсчета Δ(y) и Δ(Y) находятся по формулам, приведенным выше для случая обработки результатов измерения напряжения, т.е.

, .

Оценка относительной погрешности измерения производится с использованием соотношения

(П1.8)

Необходимо отметить, что если толщина луча меньше ширины одного промежуточного деления (n) на сетке экрана осциллографа, то в качестве превалирующей следует рассматривать погрешность, связанную с неточностью отсчета в пределах ширины деления, и в полученных выше соотношениях (П1.3, …., П1.8) вместо параметра «в» использовать параметр «n» (заменить «в» на «n»).

Курсорные измерения напряжения и временного интервала (используется курсоры амплитуды и курсоры времени, соответственно), как и в случае измерений, осуществляемых методом калиброванной шкалы, также отягощены погрешностями, возникающими из-за неточности установки курсоров в пределах толщины луча или ширины промежуточного деления.

Процедура измерения сводится к расположению курсоров в соответствующих точках, но в отличие от метода калиброванной шкалы все последующие операции (отсчет в точках установки курсоров, определение значения N_в или N_г, проведение расчета по формуле U=N_в·К₀ или Δt=Nг·Д_р) «выполняет» сам осциллограф. Следовательно, оценка погрешностей курсорных измерений может производиться по выше полученным формулам (П1.4) и (П1.5).

Аналогично выводится соотношение для оценки погрешности косвенного измерения токаI’, так какI’=U_R/R, то с учетом (П1.2) получаем:

(П1.9).

При проведении оценочных процедур для определения значений δ(К₀), δ(Д_р), δ(f), δ(U_R) и δ(R) необходимо воспользоваться информацией о метрологических характеристиках осциллографа [δ(К₀), δ(Д_р)], генератора [δ(f)] и прибора В7-35 [δ(U), δ(R)].