Коэффициент корреляции рангов

К мерам тесноты парной связи относится и предложенный английским психологом Ч. Спирменом(1863 - 1945) коэффициент корреляции рангов. Ранги - это порядковые номера единицсовокупности в ранжированном ряду. Если проранжировать совокупность по двум признакам,связь между которыми изучается, то полное совпадение рангов означает максимально теснуюпрямую связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь.Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же порядке: либо от меньших значенийпризнака к большим, либо наоборот. Если ранги единиц совокупности по признакам х и уобозначить какр^,, р ,, то коэффициент корреляции рангов согласно (8.11) имеет вид:

, (8.24)

где р?x = р?y - средние ранги в ряду натуральных чисел от 1 до п, равные, как известно, (п+1)/2. Также известно, что сумма квадратов отклонений чисел натурального ряда от ихсредней величины и равна (n3 - n)/12.Следовательно, знаменатель формулы (8.23) есть (п3 - п)/12.

Рассмотрим далее разности рангов di =pxi –pyi и сумму их квадратов:

Отсюда

Это числитель коэффициента корреляции рангов. Подставив в (8.24) найденные выражения длячислителя и для знаменателя, имеем:

Это и есть формула Спирмена.

Преимущество коэффициента корреляции рангов состоит в том, что ранжировать можно и потаким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов назанятие определенной должности по профессиональному уровню, по умению руководитьколлективом, по личному обаянию и т. п, При экспертных оценках можно ранжировать оценкиразных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить израссмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов.Коэффициент корреляции рангов, как будет показано в гл. 9, применяется для оценкиустойчивости тенденции динамики.

Недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям ранговмогут соответствовать совершенно отличные разности значений признаков (в случаеколичественных признаков). Поэтому для последних следует считать корреляцию рангов, как икоэффициент знаков Фехнера, приближенными мерами тесноты связи, обладающими меньшейинформативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений признаков.

В качестве примера рассчитаем коэффициент корреляции рангов по данным табл. 8.1 (табл. 8.4).

Коэффициент корреляции рангов по формуле Спирмена

Полученное значение больше коэффициента Фехнера, но намного ниже обычного коэффициентакорреляции, составившего 0,916. Как видим, недоучет размеров отклонений признаков от ихсредних величин занижает меру тесноты связи.

Если среди значений признаков х и у встречается несколько одинаковых, образуютсясвязанные ранги, т. е. одинаковые средние номера; например, вместо одинаковых по порядкутретьего и четвертого значений признака будут два ранга по 3,5. В таком случае коэффициентСпирмена вычисляется как

, (8.26)

где:

;

j - номера связок по порядку для признака х;

Аj - число одинаковых рангов в j-й связке по х;

k - номера связок по порядку для признака у;

Вk — число одинаковых рангов в k-й связке по у.

Таблица 8.4

Расчет коэффициента корреляции рангов по данным табл. 8.1

Коэффициент корреляции рангов может быть рассчитан и по формуле, предложеннойанглийским статистиком М. Кендаллом:

, (8.27)

где s - фактическая сумма рангов;

- максимальная сумма рангов.

Этот коэффициент также изменяется в пределах - 1 < τ < 1. Он дает несколько более строгуюоценку связи нежели коэффициент Спирмена:

.

Это соотношение выполняется при большом числе наблюдений, п > 30, и слабых либо умереннотесных связях. Для расчета т все единицы ранжируются по признаку х; по ряду другогопризнака у подсчитывается для каждого ранга число последующих рангов, превышающихданный (их сумму обозначим Р), и число последующих рангов ниже данного (их сумму обозначимQ).

Тогда S = Р - Q. Можно показать, что P+Q= - n(n-1), так что τ может быть представлен как

(8.28)

Вычислим коэффициент корреляции рангов Кендалла по данным табл. 8.4:

отношение между этими двумя коэффициентами не вполне соответствует упомянутому:коэффициент Спирмена в нашем примере превосходит τ не в 1,5 раза, а на 23%.