КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Аналитическое выравнивание ряда
Определение тренда (аналитического выражения) является наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития явления. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: yt = f (t).
Аналитическое выравнивание состоит в подборе для данного ряда динамики теоретической кривой, выражающей основные черты фактической динамики, то есть в подборе теоретической кривой, наилучшим образом описывающей эмпирические (фактические) данные. Аналитическое выравнивание может проводиться с использованием различных трендов. 1. Наиболее простым является выравнивание по прямой:
yt = a0 + a1 × t, (137)
где t – условное обозначение времени; a0, a1 – параметры искомой прямой. Параметры прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся из решения системы уравнений:
(138)
где y – фактические значения уровней; n – число уровней ряда. Систему уравнений можно упростить, если t подобрать так, чтобы сумма была равна 0, то есть начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода, тогда
(139)
При этом подбор t осуществляется: а) если число уровней ряда четное, то условное обозначение времени t строится следующим образом: …-7-5-3-1+1+3+5+7… (то есть два серединных момента принимаются –1, +1. Все остальные, соответственно, обозначаются через 2 интервала); б) при нечетном числе отсчет ведется от середины, принятой за ноль, через единицу: …-3-2-1 0+1+2+3… Значения можно находить, пользуясь следующими формулами: (140) (n – четное) (141) (n – нечетное)
2. Выравнивание по параболе (2-го порядка). Если выравнивание производить по многочлену более высокой степени (например, 2-го порядка): yt = a0 + a1t + a2t2, то система нормальных уравнений, получаемых методом наименьших квадратов, для определения параметров параболы имеет вид:
na0 + a1 t + a2 t2 = yi; a0 t + a1 t2 + a2 t3 = yit; (142) a0 t2 + a t3 + a t4 = yit2.
Для упрощения системы t подбираем так, чтобы t = 0 и t3 = 0 (как показано ранее), тогда система упростится:
na0 + a2 t2 = yi; a1 t2 = yit; a0t2 + a2 t4 = yit2, следовательно, (143)
где a0, a2 определяются решением системы из 2 уравнений; a0 – величина, выражающая средние условия образования уровней ряда; a1 – скорость развития; a2 – ускорение этого развития. Аналитическое выравнивание можно проводить и по многочленам более высоких степеней, например, параболе 3-го порядка: yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3. (144)
3. Показательная функция применительно к выравниванию имеет следующий вид:
yt = a0 × a1t , (145)
где a0 – начальный уровень ряда; a1 – среднегодовой темп роста. Для определения параметров уравнения методом наименьших квадратов, предварительно логарифмируют уровни, тогда логарифмы уровней отражаются линейной функцией:
lgyt = lga0 + t × lga1; (146) если t = 0, то lga1 = t × lgy / t2.
При этом, чем выше порядок параболы, тем более точно она воспроизводит фактические данные. Однако основной целью построения аналитического уравнения является не просто воспроизведение фактических данных, а определение тенденции развития данного явления во времени. Основанием для выбора формы кривой для выравнивания служит анализ сущности явления.
|