Інтерполяція для випадку рівновіддалених вузлів

Вузли називаються рівновіддаленими, якщо відрізок [x₀, x_n] поділений точками x_i на n рівних частин: . Для невузлових точок i було б нецілим, але натомість вводиться величина , яка є відстанню від x до x₀ в одиницях h. Тоді .

Кінцевими різницями функції y=y(х) називаються різниці виду:

– кінцеві різниці 1-го порядку;

– кінцеві різниці 2-го порядку;

– кінцеві різниці k-го порядку.

В залежності від розташування досліджуваної точки відносно відомих, заданих таблично, кращі наближення дають різні інтерполяційні багаточлени, побудовані з використанням кінцевих різниць.

Інтерполяційні формули Ньютона

Для інтерполяції та екстраполяції в точках x, близьких до початку таблиці, використовується перша інтерполяційна формула Ньютона, яка має вигляд:

або .

де m=2i-1, q=(x-x₀)/h.

В ній використовується рядок N_I таблиці різниць:

x	y	Dy	D2y	D3y	D4y
x0	y0	Dy0	D2y0	D3y0	D4y0	N1
x1	y1	Dy1	D2y1	D3y1	D4y1	N2
x2	y2	Dy2	D2y2	D3y2
x3	y3	Dy3	D2y3
x4	y4	Dy4
x5	y5

Таблиця 1. Горизонтальна таблиця кінцевих різниць при і=5

При n=1 і n=2 з цієї формули одержуємо часткові випадки:

лінійна інтерполяція ,

квадратична інтерполяція .

Якщо точка інтерполювання лежить поблизу кінцевої точки x_n таблиці або десь справа від неї, вузли треба брати в порядку x_n, x_n-h, x_n-2h, ... . Тоді формула набуде вигляду:

або .

Це – друга інтерполяційна формула Ньютона. В ній використовується нижній похилий рядок таблиці 1.