Закон распределения функции одного случайного аргумента.

Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью рас­пределения f(x). Другая случайная величина Y связана с нею функ­циональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс , на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функ­ции на участке : является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на

участке , случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой ; ордината этой случайной точки полностью опре­деляется ее абсциссой.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить , найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, парал­лельную оси абсцисс на расстоянии y от нее(рис. 6.1.1). Чтобы выполнялось условие , случайная точка (X,Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x - абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,

(6.1.1)

Так, как монотонная на участке , то существует обратная однозначная функция . Тогда

(6.1.2)

Дифференцируя интеграл (6.1.2) по переменной у, входящей в верх­ний предел, получим:

(6.1.3)

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 6.1.2). В этом случае

(6.1.4)

откуда

(6.1.5)

Сравнивая формулы (6.1.3) и (6.1.5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

(6.1.6)

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и ) положительна. При убывающей функции производная отрица­тельна, но зато перед ней в формуле (6.1.5) стоит минус. Следо­вательно, формула (6.1.6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 6.1.3).

Найдем функцию распределения G(y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой , на которых выпол­няется условие . Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков - безразлично, на какой именно. Поэтому

(6.1.7)

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

(6.1.8)

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкрет­ном виде функции могут быть выражены как явные функ­ции у. Дифференцируя G(y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

(6.1.9)

Пример.Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке от до .

Найти закон распределения величины .

Решение. Строим график функции (рис. 6.1.4). Очевидно , , и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (6.1.8), имеем:

Выразим пределы и через у: ; . Тогда

.

(6.1.10)

Чтобы найти плотность g(у) продифференцируем это выражение по переменной у, входящей в пределы интегралов, получим:

Имея в виду, что , получим:

(6.1.11)

Указывая для Y закон распределения (6.1.11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т.е. в тех пределах, в которых изменяется при аргументе X, заключенном в интервале от , до . Вне этих пределов плотность g(у) равна нулю.

График функции g(у) дан на рис.6.1.5. При у=1 кривая g(у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.