Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Пример 8.5. Проекция Х радиуса-вектора случайной точки окружности радиуса a на диаметр - имеет функцию распределения (закон арксинуса)

Определить:

а) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка ( );

б) квантиль x_0,75;

в) плотность вероятности f(x) случайной величины X;

г) моду и медиану распределения.

Решение.

а) Вероятность того, что Х окажется в пределах ( ), равна

.

б) По условию p = 0,75; решая уравнение

,

находим

.

в) Плотность вероятности f(x) случайной величины Х равна:

1) для всех x, принадлежащих промежутку (- а, а),

,

2) нулю для всех остальных значений x.

г) Закон арксинуса моды не имеет, так как функция

не имеет максимума.

Решая уравнение

,

находим медиану x_0,5 = 0.

Пример 8.6. Плотность вероятности случайной величины равна

Требуется:

а) найти коэффициент а;

6) найти функцию распределения случайной величины X;

в) вычислить вероят­ность попадания случайной величины в интервал .

Решение.

а) Коэффициент а определяем с помощью равенства

.

Отсюда

.

Двукратным интегрированием по частям получаем

.

Следовательно, и плотность вероятности имеет вид

.

б) Функция распределения F(x) случайной величины Х определяется по формуле

.

в) Вероятность попадания случайной величины Х в заданный промежуток вычисляется по формуле

.