Статистическая проверка гипотез

Основные понятия

Пусть (x₁, x₂,…, x_n) - случайная выборка объёма n из некоторой генеральной совокупности (конечной или бесконечной).

Каждое значение x_i в этой выборке само является случайной величиной, даже если генеральная совокупность состоит из конечного числа элементов. Необходимо также иметь в виду, что случайная выборка из какой-либо генеральной совокупности должна соответствовать некоторой схеме испытаний, при реализации которой выявляется искомая случайная величина X. При этом полученные в вышеупомянутой серии испытаний значения случайной величины X должны быть независимыми и распределены по тому же закону, что и сама генеральная совокупность X (хотя бы и приближённо).

Мы будем рассматривать гипотезы о виде и параметрах распределения некоторой генеральной совокупности, а также о сравнении выборок из различных генеральных совокупностей.

Определение. Статистической гипотезой называется любое предположение относительно вида или параметров генерального распределения.

Статистическая гипотеза называется параметрической, если она содержит утверждение о значении конечного числа параметров распределения, которое считается известным.

Примеры параметрических статистических гипотез:

- нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание и дисперсию ;

- две нормально распределенные случайные величины имеют одинаковую дисперсию;

Непараметрическаягипотеза - это утверждение о виде распределения. Например:

- выборка (x₁, x₂,…, x_n) соответствует нормально распределённой случайной величине X.

Пусть H₀ и H₁ - две взаимно исключающие гипотезы. Одну из них называют основной или нулевой гипотезой. Тогда конкурирующая или альтернативная гипотеза - это логическое отрицание H₀. В качестве базисного предположения принимается утверждение о справедливости одной их этих гипотез.

Отметим, что для одной основной гипотезы может быть выдвинуты несколько альтернативных

Так, например, пусть случайная величина X имеет нормальное распределение со средним a и дисперсией . Рассмотрим основную гипотезу:

Н₀ : a=0, =1.

В качестве альтернативных могут быть выдвинуты такие гипотезы:

1). H₁ : a=0, =2;

2). H₁ : a≠0, =1.

Рассмотрим их подробнее.

1). Альтернативная гипотеза H₁ по структуре такая же, как и основная. Базисное предположение в этом случае состоит в том, что случайная величина имеет нормальный закон распределения N(0, ), причем значение дисперсии либо 1, либо 2.

2). Альтернативная гипотеза H₁ более сложная, т.к. a может принимать различные значения. Базисное предположение состоит в том, что генеральное распределение имеет вид N(a,1), причем значение a неизвестно. Гипотеза такого вида называется двусторонней.

Можно было бы выдвинуть альтернативные гипотезы

H₁: a<0 (левосторонняя гипотеза); или

H₁: a > 0 (правосторонняя гипотеза).

Определение. Статистический критерий - это правило, по которому решают, принять или отклонить нулевую гипотезу H₀ (соответственно, отклонить или принять альтернативную гипотезу H₁). Обычно критерий задается с помощью критической области К . По рассматриваемой выборке вычисляется некоторая величина, зависящая от выборочных значений (статистика критерия). Если полученное значение принадлежит критический области К, нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается. При этом возможны такие ситуации:

1. Гипотеза H₀ верна и она принимается.

2. Гипотеза H₀ отклоняется, хотя на самом деле она верна.

3. Альтернативная гипотеза H₁ верна и она принимается.

4. Альтернативная гипотеза H₁ отклоняется, хотя на самом деле она верна.

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.