Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях




Пусть теперь для тех же выборок обе генеральные дисперсии неизвестны, но одинаковы, т.е. .

Рассмотрим их выборочные средние и исправленные дисперсии:

, , , .

Известно, что , - нормально распределенные случайные величины. Величины подчинены 2-распределению соответственно с ( n- 1) и (m - 1) степенями свободы. Поскольку случайные величины X и Y независимы, то величина

U =

имеет 2-распределение с (m+n-2) степенями свободы, а величина распределена нормально: .

Поэтому нормализованная случайная величина

V = (2.5)

имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1), а отношение

имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Таким образом, если гипотеза H0: aх = aу верна, то величина

(2.6)

имеет распределение Стьюдента с (m+n-2) степенями свободы. Эта величина используется в качестве критерия для проверки гипотезы H0.

В качестве альтернативной к данной гипотезе рассмотрим гипотезу H1: .Зададим уровень значимости a и построим двустороннюю критическую область. Левое критическое значение определим из уравнения

Fn+m-2(x1) = 0,5 ,

где Fn+m-2(x) - функция распределения Стьюдента с (n+m-2) степенями свободы, а правое критическое значение по свойству чётности соответствующей функции плотности: x2=-x1. Далее проверка гипотезы аналогична изложенному в предыдущем разделе.

Пример 2.4. Для того чтобы проверить технологию изготовления нового кваса "Будь здоров", периодически отбирают случайным образом 10 бутылок и находят концентрацию сахара. В следующей таблице приведены данные по стандартной партии (Х) и по очередной проверяемой (Y).

X 11,93 9,43 10,43 8,93 9,93 9,43 7,43 8,93 8,43 9,93
Y 10,24 9,74 10,74 8,24 11,24 9,74 8,74 11,24 9,74 9,24

Выдвигаем нулевую гипотезу H0: aх = aу при конкурирующей гипотезе H1: aхaу. Положим уровень значимости α= 0,1. Проверим H0

Решение.Введём новые переменные u = x – 9,43; v = y- 9,24. Составим служебные таблицы для новых переменных:

U 2,5 -0,5 0,5 -2 -0,5 -1 0,5 0,5
U2 6,5 0,25 0,25 0,25 0,25 13,5
V 0,5 1,5 -1 -0,5 0,5
V2 0,25 2,25 0,25 0,25 9,5

 

Вычисление средних значений и стандартных отклонений дают следующие результаты ; , , . Учитывая, что в данном примере n = m = 10, мы можем вычислить критерий Tнабл.:

= 0,335.

По данному значению α и по числу степеней свободы (n+m-2) = 18 находим по таблице критическое значение Ткр2 == 1,73. Следовательно, область принятия имеет вид (-1,73; 1,73).

Поскольку найденное значение Tнабл. попадает в область принятия, то гипотезу H0 принимается. В этой задаче мы в первом приближении предполагали, что дисперсии обеих выборок статистически не различимы. Ниже будет показано, как оценить существенно ли отличаются дисперсии двух выборок из нормально распределённой совокупности.


Поделиться:

Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 82; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты