Решение. Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам (5.15)

Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам (5.15). Разобьем фигуру на три простые: треугольник I, прямоугольник II и квадрант круга Ш. Площадь всей фигуры

Для определения статических моментов выберем вспомогательные оси , проходящие через центр тяжести прямоугольника II (рис. 5.20). Статический момент каждой фигуры равен площади фигуры, умноженной на координату центра тяжести этой фигуры в системе координат . Суммарные статические моменты

Координаты центра тяжести

отложены на рис. 5.20.

Рис. 5.20. К определению моментов инерции несимметричной фигуры

Проведем через центр тяжести центральные оси (см. рис. 5.20) и найдем моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов инерции простых фигур I, II и Ш используем формулы (5.16)–(5.18). Моменты инерции относительно собственных осей прямоугольника, треугольника и квадранта круга вычисляем по формулам (5.26), (5.28) и (5.29).

Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который надо повернуть ось , чтобы она стала главной осью, определяем по формуле (5.23):

;

; .

В соответствии с правилом знаков откладываем отрицательный угол по часовой стрелке и проводим главные центральные оси инерции (см. рис. 5.20). Вычислим моменты инерции относительно этих осей по формуле (5.24):

; .

Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство: сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей есть величина постоянная. Тогда должно быть

.

В нашем примере .

Чтобы выяснить, какой момент инерции – максимальный или минимальный – соответствует оси , исследуем знак второй производной функции по (5.25).

.

Положительный знак второй производной означает, что оси соответствует минимальное значение момента инерции, т. е.

Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по (5.10) и построим эллипс инерции.

Эллипс инерции показан на рис. 5.20. Видно, что эллипс вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.

5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном

растяжении-сжатии (задача № 29)