Каскад реакторов идеального смешения

Основной недостаток единичного реактора смешения непрерывного действия – это низкая производительность в расчете на единицу реакционного объема аппарата, обусловленная малой скоростью реакции. Этого недостатка можно избежать, используя для проведения процесса несколько таких реакторов, установленных последовательно (каскад).

В последнем реакторе каскада концентрации, а следовательно, и скорость реакции те же, что и в единичном реакторе, но в каждом из предыдущих аппаратов каскада концентрации реагирующих веществ выше и, таким образом, скорости реакции будут выше, чем в последующем аппарате. В результате средняя скорость реакции в каскаде превысит среднюю скорость реакции в одиночном реакторе. Различие этих скоростей будет тем более значительным, чем больше число ступеней каскада и требуемая степень превращения реагентов.

С увеличением числа ступеней каскада повышается выход в расчете на единицу реакционного объема, но возрастает стоимость установки. Следовательно, для данного процесса существует некоторое оптимальное число ступеней каскада. Его определение требует учета экономического фактора уже на стадии технологического проектирования реактора.

Каскад представляет собой несколько последовательно соединенных проточных реакторов (секций) идеального смешения (рис. 21). Реакционная смесь последовательно проходит через все секции. Можно рассматривать в качестве примера такой модели не только систему последовательно расположенных отдельных аппаратов, но и проточный реактор, тем или иным способом разделенный внутри на секции, в каждой из которых осуществляется перемешивание реакционной смеси. Например, близка к такому типу реактора тарельчатая барботажная колонна. Аппараты этого типа называются многосекционными. Методы их расчета такие же, как и каскада, состоящего из отдельных аппаратов [1, 6, 7].

C_А0

v

C_А1 C_А2 C_АI–1 C_AI C_АN–1 C_АN

v v

1 2 I N

Рис. 21. Каскад реакторов идеального смешения

Для каскада реакторов идеального смешения должны выполняться следующие допущения об идеальности:

1) в каждой секции каскада выполняются условия реактора идеального смешения, т. е. мгновенное изменение параметров процесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке, выходящем из нее;

2) отсутствие обратного влияния: каждый реактор не влияет на предыдущий.

На рис. 22 показан характер изменения концентрации исходного реагента при прохождении реакционной смеси через каскад реакторов идеального смешения.

С_А

С_А0

С_А1

С_А2

С_А3

1 2 3 N

Рис. 22. Изменение концентрации реагента А в каскаде реакторов идеального смешения

Математическая модель каскада реакторов идеального смешения, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участнику реакции, включающую, по меньшей мере, N уравнений по числу секций каскада [7]. Если составляется модель каскада для проведения сложной реакции, где недостаточно материального баланса только по одному участнику реакции, то число уравнений математической модели кратно N.

Задача расчета каскада реакторов заключается в определении числа ступеней (числа реакторов) N, необходимых для достижения заданной степени превращения х_А. Существует аналитический и графический методы расчета каскада реакторов. Аналитический метод выгодно применять при протекании реакции первого порядка. Для реакций, имеющих более высокий порядок, удобнее графический метод [6, 7].

Для расчета каскада реакторов необходимо иметь сведения о кинетике процесса [−v_А = f(С_А)], знать концентрацию исходного реагента А на входе в первый реактор С_А0 и на выходе из последнего реактора С_АN (т. е. общую степень превращения х_А), необходимо также задать объем единичного реактора (т. е. время пребывания в единичном реакторе смешения τ_см), при этом предполагается, что объемы единичных реакторов в каскаде равны.

Для единичного N-го реактора идеального смешения, исходя из уравнения (119), имеем

(124)

где , − концентрации компонента А соответственно на входе в N-й реактор и на выходе из него.

Из уравнения (124) можно найти скорость процесса в реакторе. Для этого представим его в следующем виде:

(125)

Концентрация реагента на входе в реактор и время пребывания τ_см величины известные и постоянные, так как задаются по условию. Таким образом, из уравнения (125) следует, что скорость реакции −v_А линейно зависит только от концентрации на выходе . Если эту зависимость выразить графически (рис. 23), то прямая, описываемая уравнением (125), пересекает ось абсцисс в точке и имеет тангенс угла наклона α, равный –1 / τ_см.

Для нахождения концентрации в N-м реакторе необходимо уравнение (125) решать совместно с кинетическим уравнением (85)

Поэтому для определения концентрации реагента на выходе из первого реактора С_А1 необходимо из точки С_А0, лежащей на оси абсцисс, провести прямую с тангенсом угла наклона –1 / τ_см до пересечения с кривой –v_A = f(C_A) в точке М. Аналогично находим концентрацию реагента на выходе из второго, третьего, N-го реактора (рис. 23).Число реакторов в каскаде определяется с учетом концентрации реагента на выходе из N-го реактора.

В аналитическом расчете каскада для каждой ступени используется уравнение материального баланса одиночного реактора смешения непрерывного действия. Пронумеруем последовательные ступени каскада от 1 до N. Обозначим через С_Аi концентрацию реагента А в смеси, покидающей і-ю ступень. Если предположить, что в трубопроводах, соединяющих аппараты каскада, химическое превращение минимально, то можно считать концентрацию реагента А в смеси на выходе из i-го реактора равной концентрации этого вещества в смеси на входе в (i + 1)-й реактор.

–v_A

–v_A = f (C_A) М

a

C_А3 C_А2 C_А1 C_А0 C_А

Рис. 23. Графический способ расчета каскада реакторов

Используя характеристическое уравнение для РИС-Н в виде

последовательно для расчета отдельных ступеней каскада, получаем:

…

(126)

…

,

где – среднее время пребывания реагентов в отдельных ступенях каскада.

Таким образом, образовалась система N уравнений с N неизвестными С_А1, С_А2, …, С_АN, поскольку скорости реакции = f(С_А1), = f(С_А2), …, = f(С_АN) тоже являются функциями этих концентраций. Концентрации в отдельных реакторах вычислим путем последовательного решения уравнений, начиная с первой ступени каскада. В некоторых простых случаях, например для реакции первого порядка, можно установить непосредственную связь между концентрациями на входе в каскад и выходе из него. Подставляя в систему уравнений (126) = k_iС_Аi, получаем:

…

(127)

…

.

Из первого уравнения системы (127) находим концентрацию реагента А в первой ступени каскада:

(128)

Концентрацию реагента А во второй ступени каскада определяем из второго уравнения системы (127):

(129)

Аналогичные вычисления проводятся и для последующих ступеней.

Из уравнений (128) и (129) С_А1 можно выразить через С_А0. Тогда

(130)

Исключая тем же способом последующие промежуточные концентрации, приходим к выражению

(131)

Если константы скорости реакции и времена пребывания в отдельных ступенях каскада будут соответственно одинаковы, то зависимость (131) упрощается и имеет вид

(132)

Исходя из формулы (132), число реакторов в каскаде рассчитывается по уравнению

(133)

Среднее время пребывания реагентов в каскаде равно сумме времени пребывания в отдельных ступенях

(134)

или, если это время одинаково, то

. (135)