Природа электропроводности металлов

Металлы представляют собой конденсированные тела, построенные из атомов, которые легко отдают электроны в процессе химических реакций. Характерные признаки металлов – высокие теплопроводность и электропроводность, которая повышается с понижением температуры. Одно из основных свойств металлов как проводников – линейная зависимость между плотностью тока и напряженностью приложенного электрического поля (закон Ома).

Удельная электропроводность металлов γ при комнатной температуре составляет 10⁶–10⁸ Ом^–1×м^–1. Электропроводность металлов сильно зависит от температуры. Температурная зависимость удельного сопротивления r металлов (где ) показана на рис. 2.1. В области высоких температур зависимость r(Т) – линейная, а вблизи абсолютного нуля r не зависит от Т.

Рис. 2.1 Температурная зависимость удельного сопротивления металла

Носителями заряда в металлах являются электроны проводимости, обладающие высокой подвижностью. Согласно квантовомеханическим представлениям, в идеальном кристалле электроны проводимости при отсутствии тепловых колебаний не встречают сопротивления на своем пути. Существование у металлов электрического сопротивления – результат нарушения периодичности кристаллической решетки. Эти нарушения связаны как с тепловым движением атомов, так и с наличием дефектов в кристаллах – примесных атомов, вакансий, дислокаций и др. На колебаниях атомов и на дефектах происходит рассеяние электронов. Мерой рассеяния служит пробег или длина l свободного пробега электронов – среднее расстояние между двумя последовательными столкновениями электронов с дефектами. Длина свободного пробега при комнатной температуре может достигать l ~ 10^–6 см, т.е. составлять сотни межатомных расстояний.

Зависимость g (или удельного сопротивления r) от температуры обусловлена зависимостью l от Т. С понижением Т пробег l растет, достигая в сверхчистых (специально очищенных) образцах значений 0,1–1 см. Соответственно возрастает проводимость.

Относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один кельвин (градус) называют температурным коэффициентом удельного сопротивления:

α_ρ = 1/r × dρ/dT [К^-1].

Положительный знак α_ρ соответствует случаю, когда удельное сопротивление в окрестности данной точки возрастает при повышении температуры. Величина α_ρ также является функцией температуры. В области линейной зависимости ρ(Т) на рис. 2.1 справедливо выражение:

ρ = ρ₀ [1 + α_ρ (Т – Т₀)],

где ρ₀и α_ρ — удельное сопротивление и температурный коэффициент удельного сопротивления, отнесенные к началу температурного диапазона, т.е. температуре Т₀; ρ – удельное сопротивление при температуре Т.

Согласно экспериментальным данным большинство металлов имеют при комнатной температуре α_ρ ≈ 0,004 К^-1. Несколько большими значениями α_ρ характеризуются ферромагнитные металлы.

На практике при измерении α_ρ часто бывает полезной следующая формула:

α_ρ = α_R+ α_M,

где α_R – температурный коэффициент сопротивления данного резистора; α_М – температурный коэффициент линейного расширения материала. У чистых металлов α_R >> α_М, поэтому у них α_ρ ≈ α_R. Однако для термостабильных металлических сплавов такое приближение оказывается несправедливым.

Согласно эмпирическому правилу Маттиссенна (немецкий физик L. Matthiessen, 1864 г.) общее сопротивление кристаллического металлического образца r(Т) есть сумма сопротивления r_ф(Т), обусловленного рассеянием электронов проводимости на тепловых колебаниях решетки (фононах), и сопротивления r₀, обусловленного рассеянием электронов на дефектах решетки:

r(Т) = r_ф(Т) + r₀. (2.1)

Величина r_ф обращается в нуль при Т = 0 К, а r₀ определяет так называемое остаточное сопротивление металла при Т = 0 К (см. рис. 2.1).

Температура Дебая разделяет область высоких температур, в которых колебания кристаллической решетки можно описывать классической теорией, и область низких температур, где становятся существенными квантовомеханические эффекты. При температурах, значительно превышающих температуру Дебая q_D , сопротивление r зависит главным образом от колебаний атомов и возрастает с температурой линейно:

r = r₀ (1 + a_ρТ), (2.2)

При низких температурах (Т << q_D) значения r соответствуют приближенной формуле:

r = r₀ + АТ ² + ВТ ⁵, (2.3)

где А и В – величины, не зависящие от Т. Слагаемое ВТ ⁵ связано с электрон-фононным рассеянием, поэтому при снижении температуры оно быстро стремится к нулю. Это позволяет в ряде случаев выделить в зависимости r(Т) вклад электрон-электронного рассеяния, который пропорционален Т ². На рис. 2.2 точки соответствуют измеренным значениям r за вычетом остаточного сопротивления r₀ = 8,8×10^–10 Ом×см. Сплошная линия – график зависимости АТ ²+ВТ ⁵, характеризующей суммарный вклад электрон-электронного (АТ ²) и электрон-фононного (ВТ⁵) рассеяния.

У большинства металлов при Т ® 0 К наблюдается полное исчезновение электрического сопротивления – переход в сверхпроводящее состояние.

Многие из упомянутых выше свойств металлов (высокая электропроводность, соответствие закону Ома и ряд других) объясняла классическая теория металлов или теория свободных электронов Друде (P. Drude, немецкий физик, 1900 г.). Согласно этой теории металл состоит из свободных электронов (электронный газ) и тяжелых положительных ионов, которые считают неподвижными. В отсутствие внешнего поля электроны движутся прямолинейно с постоянной скоростью. Это движение прерывается их столкновениями с ионами и между собой, но в промежутках между столкновениями взаимодействие электронов с ионами и между собой не учитывается. Во внешних полях движение электрона подчиняется классическим (ньютоновским) уравнениям, в которых действие столкновений представляют как некоторую силу трения, пропорциональную скорости направленного движения электрона v. Ее определяют из уравнения

, (2.4)

где e и m –заряд и масса электрона; E – напряженность электрического поля; t – время свободного пробега электрона. Решение этого уравнения с начальным условием v(0) = 0 позволяет найти плотность тока

зависящую от внешнего поля (n-концентрация свободных электронов).

Теория Друде качественно объясняет ряд кинетических явлений – статическую и высокочастотную проводимость металлов, закон Ома, эффект Холла. В частности, из теории Друде следует закон Ома (j = gE,), где проводимость g связана со временем пробега электрона t соотношением:

(2.5)

Из этой формулы можно определить t по измеренным значениям g. При комнатной температуре t ~ 10^-14–10^-15 c.

Высокочастотную проводимость металлов можно вычислить по формуле Друде:

(2.6)

где ω – частота электрического поля , g₀ – статическая проводимость, определяемая по формуле (2.5). Согласно теории Друде, в результате рассеяния свободных электронов (главным образом на ионах) возникает трение электронов, которое характеризуется коэффициентом m/t при скорости v в формуле (2.4).

Однако теория металлов Друде не могла объяснить ряд экспериментальных фактов: 1) длина свободного пробега l электронов превосходит в сотни раз расстояние между ионами; 2) знак постоянной Холла может быть как отрицательным, так и положительным; 3) зависимость сопротивления многих металлов от внешнего магнитного поля и др.

Упомянутые факты удалось объяснить на основе квантовой механики, в частности, зонной теории твердых тел. В зонной теории отказываются от приближения свободных электронов и учитывают их взаимодействие с периодическим полем кристаллической решетки. Электрон считают «блоховским», а функция Блоха для электронов представляет собой бегущую волну, модулированную с периодом решетки. Это означает, что волна Блоха распространяется по идеальному кристаллу без затухания, а электроны, находящиеся в зоне проводимости, обладают бесконечной длиной свободного пробега. Нарушения идеальной периодичности в кристалле приводят к тому, что функция Блоха не удовлетворяет уравнению Шрёдингера и электрон испытывает рассеяние, т.е. изменяет направление движения. Длина свободного пробега становится конечной, что обусловливает конечное значение проводимости или удельного сопротивления металла. Нарушения периодичности решетки могут быть вызваны примесями, дефектами кристалла, а также тепловыми колебаниями атомов (фононами).

Несмотря на недостатки теории металлов Друде, ее применяют для описания высокочастотных и магнитооптических свойств металлов и полупроводников. Это связано с тем, что формула Друде (2.6) может быть выведена и на основании квантовых представлений о движении электронов в кристаллах. В этом случае ряд величин, входящих в выражения (2.5) и (2.6), приобретают смысл, отличающийся от того, который им придавал Друде: масса m заменяется эффективной массой электрона m*, а время свободного пробега t определяется столкновениями не с периодически расположенными ионами кристаллической решетки, а с нерегулярностями, присущими каждому кристаллу (дефекты решетки, фононы и др.).