Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Применение определителей к решению некоторых задач аналитической геометрии

Читайте также:
  1. Hешаем задачу
  2. I. Задачи настоящей работы
  3. I. Решение логических задач средствами алгебры логики
  4. I. Рубки лесных насаждений и их применение
  5. I. Цели и задачи проекта
  6. II. Объем и сроки выполнения задач в рамках проекта
  7. II. Основные цели и задачи Программы, срок и этапы ее реализации, целевые индикаторы и показатели
  8. II. Решение логических задач табличным способом
  9. II. Упражнения и задачи
  10. II. Упражнения и задачи

 

На плоскости уравнение прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид:

 

– формула (3) в п. 4

 

Это же уравнение можно получить и с помощью определителя, а именно:

(10)

 

– уравнение прямой, проходящей через точки М11, у1) и М22, у2).

Чтобы убедиться, что это уравнение действительно определяет прямую, достаточно применить правило Сарруса к определителю.

С помощью формулы (10) легко получить условие принадлежности трех точек одной прямой, Если точки М11, у1), М22, у2) и М33, у3) лежат на одной прямой, то справедливо равенство

.

 

Без доказательства приведем формулу для вычисления площади треугольника по координатам его вершин:

 

или (11)

 

При вычислении определителя может получиться отрицательное число и, чтобы площадь S была положительным числом, следует взять либо абсолютную величину (модуль) определителя, либо выбрать нужный знак.

В векторной алгебре широко используются определители при рассмотрении таких операций как векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов и т. д. Не имея возможности остановиться подробно на этих вопросах, мы тем не менее приведем некоторые формулы, которые используются при решении геометрических задач.

Если известны координаты трех векторов , , , то объем V параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах, вычисляется по формуле:

 

. (12)

 

Тогда очевидно, что если векторы , и компланарны (т. е. лежат в одной или в параллельных плоскостях), то

 

 

При помощи этой формулы получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки М11, у1, z1), М22, у2, z2), М33, у3, z3). Векторы будут компланарны, если точка М(х, у, z) – любая точка этой плоскости.

Запишем координаты этих векторов:

).

Используя условие компланарности, получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

 

(13)

 

Наконец, условие принадлежности четырех данных точек М1, М2, М3 и М4 одной плоскости имеет вид:

 

Пример № 8

Даны вершины пирамиды А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0), D(4, 1, 2). Вычислить объем пирамиды и составить уравнение ее грани АВС.



Найдем координаты векторов, выходящих из одной вершины:

Эти векторы служат ребрами пирамиды, объем которой составляет шестую часть объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах. Поэтому объем V пирамиды:

 

 

Заметим, что поскольку определитель равен –3, следует в формуле для вычисления объема выбрать знак минус. Итак, объем V= куб. ед.

Грань АВС лежит в плоскости, проходящей через точки А(0, 0, 2), В(3, 0, 5), С(1, 1, 0).

Поэтому уравнение этой плоскости:

или

Вычислим определитель:

Итак, уравнение искомой плоскости 3z – 6 + 3у – 3х + 6у = 0 или

х – 3у – z + 2 = 0.


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 17; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость | Обзор кривых второго порядка
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.009 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты