Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Бесконечно малой при х®х₀ называется функция α(х), предел

которой при х®х₀ равен нулю, т. е.

Для бесконечно малых верны теоремы о пределах функций, а именно:

–сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малых есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на постоянную есть функция бесконечно малая;

–произведение бесконечно малой на функцию ограниченную есть функция бесконечно малая.

Например, α₁(х)=(х–2)² – функция бесконечно малая при х®2.

α₂(х)=sin x – функция бесконечно малая при х®π.

α₃(х)=х²–3х+2 – функция бесконечно малая при х®1.

Обратимся теперь к рассмотрению функций, значения которых в окрестности точки х₀ не ограничены.

Определение.Функция ƒ(х) называется бесконечно большой

при , если для любого положительного числа М

найдется такое положительное число δ, что для каждого х

из δ-окрестности точки х₀ выполняется неравенство

|ƒ(х)| > М.

Примером такой функции является функция tg х при .

Функция при х®0 также является бесконечно большой. Если ƒ(х) – бесконечно большая при х®х₀ функция, то записывают:

.

Здесь знак ∞ (бесконечность) указывает, что функция не имеет предела и является бесконечно большой.

Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

Теорема. Если функция α(х) – бесконечно малая при х®х₀, то –

бесконечно большая функция при х®х₀.

Если ƒ(х) – бесконечно большая функция при х®х₀, то

– бесконечно малая функция при х®х₀.

Например, если sin x – бесконечно малая при х®0, то – бесконечно большая при . Или при х®3 функция х–3®0, а функция .

Заметим, что отношение любой функции, стремящейся к конечному пределу, и функции бесконечно малой является функцией бесконечно большой.

Поэтому, , т. к. , а .

Рассмотрим поведение функций при неограниченном возрастании аргумента х. Говорят х®∞ (неограниченно возрастает по абсолютной величине), если для любого числа М > 0 переменная х примет значение

|х| > М

Можно говорить о пределе функции при х®∞. Если при этом существует предел А функции ƒ(х), то записывают

Все рассмотренные теоремы и правила вычисления предела справедливы и в этом случае.

Например, – бесконечно малая функция при х®∞, т. к. .