Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции интуитивно связано с непрерывностью линии (графика функции). С точки зрения математика это понятие связано с существованием предела функции в точке.

Рис. 17. Рис. 18

. Рис. 19. Рис. 20.

На рисунках 17–20 представлены графики различных функций, из которых только одна (рис. 20) является непрерывной в точке х₀. Остальные функции не являются непрерывными в точке по разным причинам. На рис. 17 дан график функции, которая имеет в точке х₀ различные (хотя и конечные) односторонние пределы. На рис. 18 функция в точке х₀ не имеет конечного правого предела. На рис. 19 функция имеет оба равные односторонние пределы, но сама в точке х₀ не определена. Таким образом, для непрерывности функции в точке должны быть устранены все эти особенности.

Определение.Функция ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если

1) она определена в точке х₀ и в некоторой ее окрестности,

2) существует ,

3) предел функции в точке х₀ равен значению функции в

этой точке, т. е.

Второе условие определения может быть сформулировано более подробно: существуют и равны оба односторонних предела в точке, т. е.

Рассмотрим примеры.

№ 1. .

Эта функция не является непрерывной в точке х=0, т. к. в этой точке она не определена.

№ 2. .

Эта функция не является непрерывной в точке х=2, т. к. в этой точке не существует ее предел: .

Заметим, что в точке х=2 тоже не определена.

№ 3. Зададим функцию с помощью двух аналитических выражений, а именно

Посмотрим, является ли эта функция непрерывной в точке х=1. Значение функции в этой точке ƒ(1)=3–1=2. Функция определена для всех действительных чисел.

Вычислим односторонние пределы. При х < 1 ƒ(х)=х, поэтому

При х > 1 ƒ(х)=3–х, поэтому

Так как односторонние пределы не равны между собой, то не существует и в точке х=1 функция не может быть непрерывной.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке, если она

непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Рассматривая простейшие элементарные функции, легко убедится, что каждая из них непрерывна в области своего определения.

Определение.Точка х=х₀ называется точкой разрыва функции, если в

этой точке нарушается хотя бы одно требование

непрерывности.

На рисунках 17–19 приведены примеры точек разрыва.

Точку называют точкой разрыва первого рода, если существуют и конечны оба односторонних предела.

Точку разрыва называют точкой разрыва второго рода, если хотя бы один односторонний предел в этой точке не существует (или бесконечен).

В рассмотренном примере № 3 функция имеет в точке х=1 точку разрыва первого рода.

График этой функции состоит из двух полупрямых у=х (для х < 1) и у=3–х (для х ³ 1).

Рис. 21.

При исследовании функции на непрерывность точку разрыва следует искать там, где функция не определена, или в точках, где одно аналитическое выражение функции меняется на другое.

Укажем некоторые свойства непрерывных функций.