Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Экстремум функции

Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. III. Вегетативные функции НС.
  3. III. Функции полномочного представителя
  4. SQL-функции
  5. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  6. Анатомия ствола головного мозга (структуры и функции).
  7. Анатомия, гистология, функции наружной оболочки глаза.
  8. Аритмии, обусловленные нарушением функции проводимости
  9. Артерии, морфофункциональная характеристика. Классификация, развитие, строение, функции. Взаимосвязь структуры артерий и гемодинамических условий. Возрастные изменения.
  10. Асимптоты графика функции.

Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него.

Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если

существует такая окрестность точки х0, что для всех х из

этой окрестности

ƒ(х) < ƒ(х0) (ƒ(х) > ƒ(х0)).


Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума).

 

Рис. 25.

 

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1) < ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

 

Теорема.Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная

функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х0)=0.

 

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)3.

Найдем ƒ¢(х)=3х2. В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)3 > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х3<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.



Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

 

Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через

нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а

именно, если производная меняет знак с плюса на

минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка

минимума.

 

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).

 

Теорема 2.Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х0) > 0, то

х0 – точка минимума, если ƒ¢¢(х0) < 0, то х0 – точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.



 

 


Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 27; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пример 11. Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных | Пример 3. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х+36х2–2х3–х4.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.009 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты