Контрольная работа №2

В задачах 101–120найти пределы функций, не пользуясь прави­лом Лопиталя.

101.а) ; б) ; в) .

102.а) ; б) ; в) .

103.а) ; б) ; в) .

104.а) ; б) ; в) .

105.а) ; б) ; в) .

106.а) ; б) ; в) .

107.а) ; б) ; в) .

108.а) ; б) ; в) .

109.а) ; б) ; в) .

110.а) ; б) ; в) .

111.а) ; б) ; в) .

112.а) ; б) ; в) .

113.а) ; б) ; в) .

114.а) ; б) ; в) .

115.а) ; б) ; в) .

116.а) ; б) ; в) .

117.а) ; б) ; в) .

118.а) ; б) ; в) .

119.а) ; б) ; в) .

120.а) ; б) ; в) .

В задачах 121–140найти производные у'_х.

121.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) ;

122.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

123.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

124.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

125.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

126.а) ;

б) , ;

в) ; г) ; д) .

127.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

128.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

129.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

130.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

131.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

132.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

133.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

134.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

135.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

136.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

137.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

138.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

139.а) ;

б) , ;

в) ;

г) ;

д) .

140.а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

В задачах 141–160найти приближённое значение указанных ве­личин с помощью дифференциалов соответствующих функций.

141. .	142. .	143. .	144. .
145. .	146. .	147. .	148. .
149. .	150. .	151. .	152. .
153. .	154. .	155. .	156. .
157. .	158. .	159. .	160. .

В задачах 161–180исследовать данные функции методами диф­ференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция чётной, нечётной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.

161. .	162. .
163. .	164. .
165. .	166. .
167. .	168. .
169. .	170. .
171. .	172. .
173. .	174. .
175. .	176. .
177. .	178. .
179. .	180. .

181.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

182.Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, даёт наименьшую сумму?

183.Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

184.Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72 см³, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

185.Из углов квадратного листа картона размером 18×18 см² нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы согнув лист по пунктирным линиям (см. рис.), получить коробку наибольшей вмес­тимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

186.Решить предыдущую задачу для прямоугольного листа размером 8×5 см².

187.Объём правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

188.Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

189.Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объёме V наименьшую пол­ную поверхность.

190.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

191.Из круга вырезан сектор с центральным углом α. Из сектора свёрнута коническая поверхность. При каком значении угла α объём полученного конуса будет наибольшим?

192.Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объём тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

193.Периметр равнобедренного треугольника равен 2р.Каковы должны быть его стороны, чтобы объём конуса, образованно­го вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим?

194.Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который мож­но вписать в шар радиуса R.

195.Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

196.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

197.Каков должен быть угол при вершине равнобедренного тре­угольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

198.Доказать что конический шатёр данной вместимости требу­ет наименьшего количества материи, когда его высота в раз больше радиуса основания.

199.Найти наименьший по площади эллипс, описанный около данного прямоугольника (площадь эллипса с полуосями а и b равна πab).

200.Полоса железа шириной а должна быть согнута в виде от­крытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет фор­му дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

В задачах 201–220найти неопределённые интегралы.

201.а) ; б) ; в) .

202.а) ; б) ; в) .

203.а) ; б) ; в) .

204.а) ; б) ; в) .

205.а) ; б) ; в) .

206.а) ; б) ; в) .

207.а) ; б) ; в) .

208.а) ; б) ; в) .

209.а) ; б) ; в) .

210.а) ; б) ; в) .

211.а) ; б) ; в) .

212.а) ; б) ; в) .

213.а) ; б) ; в) .

214.а) ; б) ; в) .

215.а) ; б) ; в) .

216.а) ; б) ; в) .

217.а) ; б) ; в) .

218.а) ; б) ; в) .

219.а) ; б) ; в) .

220.а) ; б) ; в) .

В задачах 221–240вычислить несобственный интеграл или дока­зать его расходимость.

221. .	222. .	223. .
224. .	225. .	226. .
227. .	228. .	229. .
230. .	231. .	232. .
233. .	234. .	235. .
236. .	237. .	238. .
239. .	240. .

В задачах 241–243вычислить площади фигур, ограниченных гра­фиками функций.

241. , .	242. , .
243. , .

В задачах 244–246вычислить площади фигур, ограниченных ли­ниями, заданными параметрически.

244.	245.
246.

В задачах 247–250вычислить площади фигур, ограниченных ли­ниями, заданными уравнениями в полярных координатах.

247. , .	248. .
249. , .	250. ,

В задачах 251–253вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

251. , .

252. , .

253. , .

В задачах 254–256вычислить объёмы тел, образованных вращением вокруг оси Ох фигур, ограниченных графиками функций.

254. , .

255. , .

256. , , .

В задачах 257–260вычислить объёмы тел, образованных враще­нием вокруг оси Оу фигур, ограниченных графиками функций.

257. , , .

258. , .

259. , , .

260. , , , .

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для специальностей 311300, 030500

Составители: Шефель Валентина Гавриловна

Грунина Мария Викторовна

Бабин Владислав Николаевич

Редактор В.В. Попова

Лицензия № 020426 от 7 мая 1997 г.

Подписано к печати 1.04.1999 г.

Формат 84×108 ¹/₃₂

Объем 1,7 уч.–изд. л.

Тираж 600 экз.

Отпечатано в ИЗОП

630039, Новосибирск, ул. Никитина, 155