Модуль вектора. Направляющие косинусы

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис 12).

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим соответственно через M₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х , пр_y , пр_z . По опре-

делению суммы нескольких векторов находим .

А так как , то

. (5.1)

Но

. (5.2)

Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , , . Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: .

Равенство означает, что

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т.е.

.

Отсюда

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем

(5.5)

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т.е. сумма направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа , т.е.

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.