Формальное определение линий уровня

На формальном уровне в рамках классического подхода в теории риска соответствующее семейство линий в двумерном декартовом пространстве (m, x σ_m) при заданном значении начального капитала ЛПР определяют на основе параметрического способа их задания. При этом, естественно, такое определение должно быть универсальным в том смысле, что оно должно охватывать любые типы отношений ЛПР к риску. Приведем такое определение. Под линией уровня К понимают линию или кривую (как геометрическое место точек на соответствующей координатной плоскости (m, x σ_m)), определяемую соотношением:

ƒ(m, σ_m) = К, где:

• К — параметр, характеризующий отдельную линию семейства (например, для соответствующей линии уровня в качестве параметра К выступает ордината точки пересечения такой линии с осью ординат, т. е. показатель т0);

• m, — переменная, интерпретируемая в рассматриваемом случае как средний ожидаемый конечный результат для ЛПР, сопоставляемый с анализируемой альтернативой;

• σ_m — переменная, интерпретируемая в рассматриваемом случае как соответствующее среднеквадратическое отклонение конечного результата для ЛПР;

• ƒ(m, σ_m) — функция двух переменных, определенная в области σ_m> 0 и характеризующая отношение ЛПР к риску, причем задаваемая таким образом, чтобы большим значениям К соответствовали линии уровня из этого семейства с большим предпочтением для данного ЛПР.

А именно: ее свойства, связанные с выпуклостью или вогнутостью, будут характеризовать соответственно «осторожность к риску» ЛПР или его «склонность к риску». Дополнительно отметим, что в тех случаях, когда это возможно, формальное определение выражения для функции ƒ(m, σ_m) стараются задавать таким образом, чтобы параметр К в уравнении:

ƒ(m, σ_m) = К

как раз и совпадал с ординатой точки пересечения соответствующей линии уровня с осью ординат. Именно так и была графически представлена линия уровня m₀ . Удобства такого представления линий уровня очевидны.

Итак, для выбора наилучшего решения в условиях риска применительно к определенному ЛПР (в частности, при заданном значении его начального капитала) будет необходимо представить соответствующее семейство его линий уровня в пространстве «Доход — Риск». В общем случае выбор конкретной функции ƒ(m, σ_m) или выбор типа такой функции для задания соответствующего семейства линий уровня реализуется непосредственно самим ЛПР, чтобы соответствующая функция отражала или характеризовала именно его отношение к риску. В рамках данной работы для иллюстрации методов управления рисками в качестве функций такого типа нам далее будет достаточно, например, использовать функции вида:

1) ƒ(m, σ_m) = m – λ x σ²_m — для «осторожных к риску» ЛПР;

2) ƒ(m, σ_m) = m — для «нейтральных к риску» ЛПР;

3) ƒ(m, σ_m) = m + λ x σ²_m — для «склонных к риску» ЛПР.

При этом величина параметра λ > 0 будет, как мы увидим, характеризовать степень соответствующей «осторожности» или «склонности» к риску конкретного ЛПР применительно к случаю, когда отношение ЛПР к риску задается именно в классе функций такого типа. Действительно, параметрическое представление линии уровня К соответствующего семейства линий уровня (например, для «осторожного к риску» ЛПР) на базе функций такого типа будет определяться равенством:

m – λ x σ²_m = К. Представим уравнение соответствующей линии в явном виде:

m = К + λ x σ²_m .

Теперь легко видеть, что в пространстве (m, σ_m), которое мы называем пространством «Доход — Риск», соответствующая линия уровня представляется обычной параболой, смещенной вверх (т. е. по оси ординат, где указывается средний ожидаемый конечный результат для ЛПР в рамках анализируемой альтернативы) на величину К. При этом большему значению А соответствует и большая выпуклость, а следовательно, и большие требования ЛПР, предъявляемые им к компенсации за риск.

Несомненным удобством (в плане простоты иллюстрации соответствующего аппарата и простоты его использования) является наличие только одного параметра λ в представлении функций ƒ(m, σ_m) такого класса. Другими словами, для выбора конкретной функции в этом классе достаточно определить только приемлемое для ЛПР значение λ (естественно, с учетом его начального капитала).