Квантили

Пусть F(x) – (кумулятивная) функция распределения случайной величины

.

Рассмотрим функцию F^–1(P), 0≤P≤1, обратную к F(x) т.е.

F^–1(F(x))=x F(F^–1(P))=P .

Функция F^–1(P) называется P-квантилем распределения F.

Величина квантиля для P=0.5 называется медианой распределения.

Квантили для P=0.25, 0.75 называются квартилями, а для P=0.01, 0.02, …, 0.99 называются процентилями.

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Определение. Коэффициентом асимметрии случайной величины называется величина

а коэффициентом эксцесса случайной величины - величина

Рис. 3.1. Пример распределений с положительной ( )) и отрицательной ( ) ) асимметрией.

Если плотность распределения случайной величины симметрична, то коэффициент асимметрии . На рис. 3.1 приведены графики функций плотности в двух случаях: . Для нормального распределения коэффициент эксцесса равен 3. Если же распределение сосредоточено вокруг среднего теснее, чем нормальное, то , в противном случае .

5.Билет №5. Основные дискретные распределения. (Равномерное, Бернулли, Биномиальное, Геометрическое, Пуассона, Усеченное геометрическое, Гипергеометрическое).