Второй замечательный предел (доказательство)

Ответ:

Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство

.

Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.

14. О-символика.

Ответ:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x₀, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

• f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x₀ имеет место неравенство

;

• f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x₀, что для всех имеет место неравенство

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))),

но выражения

O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x))

бессмысленны.

Другой пример: при x → 0 верно, что

O(x²) = o(x),

но неверно, что

o(x) = O(x²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме

x² + x³ ∈ O(x²)

или

вместо, соответственно,

x² + x³ = O(x²)

и

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.