Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Асимптоты графика функции.

Читайте также:
  1. Артерии, морфофункциональная характеристика. Классификация, развитие, строение, функции. Взаимосвязь структуры артерий и гемодинамических условий. Возрастные изменения.
  2. Асимптоты гиперболы
  3. Белое вещество спинного мозга: строение и функции.
  4. Бесконечно малые функции. Арифметические действия с бесконечно малыми (доказательство)
  5. Биологические мембраны клетки, их строение, состав, функции.
  6. Биологические мембраны клеток, их строение, химический состав и функции.
  7. В целях оптимизации группового графика двух с одинаковым периодом циклических нагрузок сдвиг во времени их включения должен соответствовать времени корреляционного антирезонанса.
  8. Векторные и матричные функции.
  9. ВЛАСТЬ И ПОЛИТИКА. ПОЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОБЩЕСТВА, ЕЕ СУЩНОСТЬ, ТИПЫ, ФУНКЦИИ.

Ответ:

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

 

Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

 

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

 

Наклонные асимптоты.

 

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

M

 
 


j

 

N

j P

 

Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

 

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

 

По условию: , ÐNMP = j, .

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

 

 

Тогда .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

 

Тогда , следовательно,

 

.

 

Т.к. , то , следовательно,

 

 

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.



 

31. Интегрирование. Первообразная функции и её свойства.

Ответ:

Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

 

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

 

 

Неопределенный интеграл.

 

Определение: Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

 

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

 

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J.
Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х),
тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J.
Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J.
Следовательно, Φ(х)- F(х) = С.
Откуда Φ(х)= F(х)+С.
Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.
Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.



 

 

32. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица основыных интегралов.

Ответ:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

 

Интеграл Значение Интеграл Значение
-ln½cosx½+C ex + C
ln½sinx½+ C sinx + C
-cosx + C
tgx + C
-ctgx + C
ln arcsin + C

 

 


Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 29; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Выпуклость графика функций и точки перегиба. | Интегрирование рациональных функций.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.01 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты