Размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо порядком.

9. Определение транспозиции в перестановке.

Транспозицией называется такое преобразование перестановки, при котором какие – либо два её элемента меняются местами, а все остальные элементы остаются на своих местах.

10. Четные и нечетные перестановки.

Перестановка называется чётной, если общее количество инверсий есть чётное число и, соответственно, нечётной, если общее количество инверсий, содержащихся в этой перестановке , число нечётное.

11. Терема об изменении четности перестановки при транспозиции.

Теорема: Все n! перестановок можно записать в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей с помощью одной транспозиции (такой порядок называется идеальным), при этом ни одна перестановка не встретится дважды, а начинать можно с любой перестановки.

Теорема 2: Любая транспозиция меняет чётность перестановки на
противоположную.

12. Вычисление определителя 2-го порядка.

Определителем 2-го порядканазывают число, представленное в виде специальнойконструкции: = , которой ставят в соответствие число: . Записывают:

= = . (1)

Говорят, что правая часть выражения (1) определяет правило еговычисленияопределителя 2-го порядка.

Прииспользовании определителяприменяют термины:

· элементы определителя – числа a11, a12, a21, a22;

· строки определителя: 1-я строка: пара чисел: a11,a12 , 2-я строка: пара чиселa21,a22;

· столбцы определителя: 1-й столбец: пара чисел: a11,a21, 2-й столбец: пара чиселa12,a22;

· члены определителя: (a11·a22) и (–a21·a12).

13. Вычисление определителя 3-го порядка.

Определителем 3-го порядканазывают число, представленное в виде специальнойконструкции: = , которой ставят в соответствие число, определяемое суммой, составленной из шести слагаемых (членов определителя):

= + + – – – .

14. Определение определителя порядка n.

15. Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

Определитель матрицыА есть число, равное .

Опишем эту формулу словами. Определителем квадратной матрицы порядка n на n является сумма, содержащая n! слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой произведение nэлементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А. Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1), если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

Определитель матрицы А обычно обозначается как , также встречается обозначение det(A). Также можно услышать, что определитель называют детерминантом.

Итак, .

Отсюда видно, что определителем матрицы первого порядка является элемент этой матрицы .

16. Как изменится определитель при транспонировании матрицы?

При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .

17. Чему равен определитель, имеющий строку или столбец, целиком состоящий из нулей?

Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

18. Как изменится определитель, если его строку или столбец умножить на число?

Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.

19. Как изменится определитель, если в нем переставить две строки или два столбца?

Если в матрице А поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

20. Как изменится определитель, если к какой-либо его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число?

Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

21. Чему равен определитель, имеющий две пропорциональные строки?

Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

22. Как связаны между собой определители матриц А и λА?