Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

Пусть функция определена и непрерывна на , дифференцирована в , за исключением конечного количества точек. По первой и второй теоремам Вейерштрасса она ограничена и достигает на этом сегменте своих точных верхней и нижней границ, которые являются ее наибольшим и наименьшим значениями на этом сегменте. Надо эти значения найти.

Допустим, что не имеет на точек, где , или не существует. Это означает, что сохраняет свой знак везде на , а функция - строго монотонна на . Тогда наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах сегмента .

Если на сегменте имеет конечное число точек , где не существует или равняется нулю, то эти точки разбивают сегмент на частичные сегменты: , в каждом из которых уже нет таких точек, где или не существует, а потому - строго монотонна на каждом из , а потому наименьшее и наибольшее значения она будет принимать на концах .

Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на сегменте функции надо:

1. Найти производную функции на ;

2. Найти все стационарные точки функции, и точки, в которых не существует, которые принадлежат . Обозначим эти точки ;

3. Вычислить значения ;

4. Сравнить все значения, полученные на предыдущем шаге, и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пример. Для функции найти ее наименьшее и наибольшее значения на сегменте . На функция является непрерывной. Выполним последовательно все 4 вышеперечисленные действия:

1. ;

2. Производная не существует там, где ее знаменатель равняется 0:

.

Стационарные точки функции определяются при решении уравнения:

.

Таким образом, на следующем шаге надо будет вычислить значения функции в точках: .

3. .

4. Выбираем наибольшее и наименьшее значения из полученных на предыдущем шаге. Наибольшее значение на сегменте функция принимает в точке , и это значение , наименьшее значение - .