Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


START 1




 

Рис.3.10 Программа модели работы АЗС.

3.3 Производственные функции

Аппарат производственных функций широко используется в микроэкономическом и макроэкономическом анализе при моделировании производственных процессов. С помощью производственных функций можно оценить эффективность функционирования системы и использования отдельных производственных факторов, определить возможности и последствия замещения одних факторов производства другими, найти влияние масштаба производства на его эффективность, изучить воздействие управленческих и технологических решений на производственные процессы.

3.3.1 Понятие ПФ, краткая историческая справка.

Производственная функция определяет связь между затратами факторов производства и выпуском продукции в производственной системе. Производственная функция описывает наиболее эффективные производственные процессы. Все остальные менее эффективные технологические процессы со свободным расходованием факторов производства автоматически исключаются из рассмотрения.

Производственные функции могут быть определены для производственных систем различных масштабов - от производственного участка до мировой экономики. Каждая производственная система характеризуется собственной производственной функцией.

Сложность производственных систем приводит к тому, что производственные функции удается определить теоретически только в простейших случаях. Нахождение производственной функции для реальной производственной системы представляет задачу, которая решается статистическими методами обработки эмпирических данных.

При изучении производственных функций делается ряд важных допущений, позволяющих значительно упростить процесс моделирования. Так, например, в реальной жизни многие фирмы производят не один товар, а широкий ассортимент различных товаров. Однако в макроэкономическом анализе предполагается, что фирма выпускает однородную продукцию, т.е. один единственный вид товара. Кроме того, в хозяйственной практике каждый из факторов производства не является однородным. Например, работники могут иметь различную квалификацию, а оборудование различаться по степени эффективности, однако абстрагируются от этого, предполагая, что каждый из используемых факторов производства является однородным по своему составу. Абстрагирование от качественных различий позволяет осуществить количественный анализ производственного процесса на фирме, значительно упрощает процесс моделирования, улучшает точность оценки параметров модели производства по имеющимся эмпирическим данным

Исторически одними из первых работ по построению и использованию производственных функций были работы по анализу сельскохозяйственного производства в США. В 1909 г. Митчерлих предложил нелинейную производственную функцию: удобрения — урожайность. Независимо от него Спиллман предложил показательное уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических производственных функций (ПФ).

В 1928 г. Ч. Кобб и П.Дуглас на основе данных по обрабатывающей промышленности США за период 1899-1922 гг. (несельскохозяйственные отрасли) представили функцию Р=bLαK1-α, где Р — расчетный индекс производства; К — индекс основного капитала; L — индекс занятости. Это была первая эмпирическая производственная функция, построенная по данным временных рядов.

В настоящее время при построении ПФ региона или страны в качестве величины годового выпуска Y чаще всего берется совокупный доход, исчисляемый в неизменных, а не в текущих ценах. В качестве ресурса рассматривается основной капитал К и живой труд L обычно исчисляемые в стоимостном выражении. Такая функция носит имя Кобба-Дугласа (ПФКД) и имеет вид Y=а0Kα1Lа2. Впервые функция была применена авторами в 1929 году.

В современной форме часто используется третий фактор: затрачиваемые природные ресурсы.

Часто а12=1. В этом случае ПФКД можно преобразовать следующим образом:

 
 

Тогда можно ввести обозначения z=Y/L и k=K/L, называемые соответственно производительностью труда и капиталовооруженностью труда и ПФКД тогда превращается в однофакторную функцию.

В связи с тем, что 0 < а1 <1, из последней формулы следует, что производительность труда растет медленнее капиталовооруженности.

При построении ПФ научно-технический прогресс (НТП) учитывается с помощью введения множителя НТП еpt где параметр р характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП.

По данным разных авторов параметр α2 существенно превышает параметр α1. Например, данные по СССР за период 1960-1985 годы соответственно равны α1=0,5382; α2= 0,4618, коэффициент a0= 1,022. При использовании этих данных для прогноза на 1986 год ошибка составила 3%, что говорит об относительно небольшой точности прогноза. С учетом научно-технического прогресса ПФ имела следующий вид:

Y= 1.038 e0.0294tK0.9749L0.2399

Выделение существенных видов ресурсов (факторов производства) и выбор аналитической формы ПФ называется спецификацией ПФ. Спецификация определяется, прежде всего, теоретическими соображениями, которые учитывают макро и микроэкономические особенности объекта исследования.

Преобразование реальных и экспертных данных в модельную информацию, т.е. расчет численных значений параметров ПФ на базе статистических данных с помощью регрессионного и корреляционного анализа, называется параметризацией ПФ.

Проверка истинности (адекватности) ПФ называется ее верификацией.,

 

3.3.2 Представление производственной функции.

Производственная функция ─ это математически выраженная зависимость между максимальным количеством полученного продукта Y и набором затраченных ресурсов x1, x2,….xn за период времени для заданного множества технологий:

Y=f(x1, x2,….xn)

где Y — показатель, характеризующий результаты производства; x1 — факторный показатель i-го производственного ресурса, п — количество факторных показателей.

При анализе производства с помощью набора затрат факторов в форме капитал – труд производственная функция системы связывает количество полученного продукта Y с затратами факторов труда L и капитала K за период времени

Y =f(L,K)

C точки зрения управленческого учета затраты труда представляют переменные издержки, а затраты капитала – постоянные издержки производства. Поэтому в краткосрочном периоде система производства может изменять только количество затрат труда, но не может изменить затраты капитала. В долгосрочном периоде возможно изменение количества двух факторов производства – как труда, так и капитала.

Производственная функция может быть задана четырьмя способами:

- в явном виде аналитически:

Y =f(L,K)

- в неявном виде аналитически:

F(L,K,Y)=0

- в табличном виде:

 

Объем производства Затраты труда Затраты капитала
Y1 L1 K1
Y2 L2 K2
…… …… ……
Yi Li Ki
…… …… ……
Yn Ln Kn

 

- или в графическом виде. Представление факторов производства в виде набора двух агрегированных факторов – капитала K и труда L дает возможность графического представления факторов и функции в виде точки на плоскости. В этом случае производственная функция представляет поверхность в трехмерном пространстве капитала, труда и объема выпуска продукции.

При условии выполнения сделанных предположений график двухфакторной производственной функции Y(K, L) имеет вид,

 
 

представленный на рис. 3.11:

 

Рис. 3.11 . График производственной функции

 

 

Возьмем точку Yс, отражающую уровень производства Yс. Проведем через эту точку плоскость, параллельную плоскости KOL и пересекающую производственную поверхность. Проекция линии пересечения на плоскость KOL называется изоквантой, или производственной кривой безразличия Yс=F(K,L)=const.

Изокванта — геометрическое место точек, которым соответствует одинаковый уровень выпуска продукции.

Смысл изокванты состоит в том, что одно и то же количество продукции Yс может быть произведено при различных сочетаниях ресурсов производства К и L. Пример изокванты изображен на рис. 3.12:

 

Рис. 3.12 Представление изокванты

 

Пример 3.6Производственная система описывается

производственной функцией:

y(K,L)=10K0.25L0.75;

Найти уравнение изокванты при уровне производства 20 единиц продукта.

Запишем условие, определяющее изокванту при 20 единицах продукта:

10K0.25L0.75=20, или:

K0.25L0.75=2

K*L3=24,

Окончательно находим уравнение изокванты:

K=16/L3.

Графическое представление технологии может быть представленов в виде карты изоквант, которая является проекцией линий уровня производственной функции на плоскость (K,L) .

Очевидно, что карта изоквант (рис. 3.13) очень похожа на карту кривых безразличия. Однако, в отличие от кривых безразличия, каждая изокванта представляет измеряемый и вполне определенный уровень выпуска. Изокванты не пересекают друг друга и они не пересекаются с осями координат.

3.13 Карта изоквант.

 

Проекции производственной функции на плоскости YOK и YOL образуют кривые, которые называются кривыми "затраты-выпуск". Графики кривых "затраты-выпуск" представлены на рис. 3.14a и 3.14б.

 

 

 

 


Рис.3.14 Примеры кривых "Затраты – выпуск"

 

Виды производственных функций (и их изокванты) могут различаться в зависимости от характера технологии, которая описывается той или иной функцией. В частности, для линейной производственной функции изокванты представляют прямые линии ( см. ниже п. 3.4).

 

3.3.3 Основные свойства и определения производственной функции

 

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических.

Математически предполагается, что ПФ должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

Экономические свойства состоят в следующем:

· при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно;

· рост использования ресурсов приводит к росту результата производства;

· увеличение затрат одного ресурса приводит к снижению эффективности его использования.

· При макроэкономическом моделировании используется предположение о пропорциональности роста результата росту затрат ресурсов.

Производственная функция, отвечающая всем перечисленным свойствам, называется неоклассической. В частности, производственная функция Кобба-Дугласа относится к неоклассическим ПФ.

Производственная система является эффективной, если фирма достигает целей при низких издержках, которые пропорциональны количеству потребляемых системой факторов производства за период

времени, при условии постоянства цен на рынке ресурсов. Математически эффективность производственного процесса или эффективность использования факторов производства определяется величиной средней и предельной отдачи ресурса. Более эффективная система производит большее количество продукта при заданных затратах факторов производства в единицу времени. Для понимания производственного процесса являются весьма важными приводимые ниже определения.

Средняя отдача ресурса – это отношение объема выпускаемой фирмой продукции к использованному количеству этого ресурса (затраты остальных факторов остаются неизменными).

i=l,2,...n (3.12)

Если фактором производства является труд, то это – средняя производительность труда.

Если фактором производства является капитал, то это – средняя фондоотдача.

Пример 3.7Производственная система произвела за период времени 150 единиц продукта и затратила 50 единиц капитала и 10 единиц труда. В этом случае, средняя производительность труда ФL определяется как ФL=150/10=15 единиц продукта на единицу труда, а средняя фондоотдача Фk вычисляется по формуле: Фk=150/50=3 единицы продукта на единицу капитала.

Предельная отдача ресурса (предельная производительность ресурса) – отношение величины изменения объема производимой продукции к величине изменения ресурса.

Предположим, на фирме работают 6 человек, и они вместе производят в день 90 единиц продукции. Предположим, что владелец фирмы нанял на работу еще одного человека. В результате общий объем продукции стал 98 единиц, т.е. увеличился на 8 единиц, В этом случае 8 единиц это и есть предельная отдача труда.

Если на предприятии работает не 8 человек, а 800 или 1500 человек, тогда прирост объема продукции на 1 единицу трудозатрат будет бесконечно малой величиной, и предельную отдачу переменного фактора можно представить как первую производную производственной функции.

В общем случае:

i=l,2,...n (3.13)

В случае двух факторов K и L :

- предельная фондоотдача (3.14)

предельная производительность труда. (3.15)

Пример 3.8Функционирование производственной системы описывается производственной функцией

f(K,L) = 20K1/2L1/2

Пусть за период потрачено 25 единиц капитала и 4 единицы труда.

Рассчитать значения средней и предельной отдачи ресурсов.

Количество произведенного продукта У равно:

У=20*251/2*41/2 = 200 единиц продукта

Средняя фондоотдача равна:

Фк=200/25=8 единиц продукта на единицу капитала

Средняя производительность труда равна:

ФL= 200/4=50 единиц продукта на единицу труда

Предельная фондоотдача равна:

Vk=∂Y/∂K=1/2*20*k-1/2L1/2 = 1/2*20*(1/5)*2 = 4 единиц продукта на единицу капитала.

Предельная производительность труда равна:

VL= ∂Y/∂L = 1/2*20*K1/2L-1/2 = 1/2*20*5*(1/2) =25 единиц продукта на единицу труда.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам показывают, на сколько процентов изменится объем выпуска продукции при изменении затрат соответствующего производственного ресурса на один процент. В случае двух факторов K и L коэффициенты эластичности определяются следующими формулами:

-коэффициент эластичности продукта по фондам (3.16)

 

- коэффициент эластичности продукта по труду (3.17)

Коэффициенты эластичности вы­пуска Ek и EL зависят от того, при каких значениях К и L они подсчитываются.

Эластичность продукта по i-му фактору можно выразить через средние и предельные отдачи фактора производства. Покажем это на примере коэффициента эластичности по фондам:

(3.18)

Таким образом, эластичность продукта по i-му фактору равна отношению величины предельной отдачи фактора к величине средней отдачи этого же фактора.

Пример 3.9Производственная система производит 150 единиц продукта при затратах 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Каким станет выпуск продукта, если затраты капитала увеличатся до 54 единиц при постоянных затратах труда. Эластичность продукта по капиталу равна 0,25.

Порядок расчёта производства следующий:

Затраты капитала возросли в абсолютной величине на 4 единицы или в относительной величине на 4*100/50=8%. Это вызовет рост выпуска продукта в относительных величинах на 0,25*8%=2%. В абсолютной величине рост составит 2*150/100=3 единицы продукта. Следовательно, выпуск продукта возрастёт до 153 единиц за период времени.

Пример 3.10Производственная система производит 150 единиц продукта при затратах 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Найти количество произведённого продукта при затратах 49 единиц капитала и 11 единиц труда, если коэффициенты эластичности по капиталу и труду равны 0,25 и 0,75 соответственно.

Раскладывая производственную функцию в ряд Тейлора имеем:

f(K + ΔK, L + ΔL) = f + (∂f/∂K)* ΔK + (∂f/∂L)* ΔL = Y + Vk*ΔK + VL*ΔL

Вычислим приращения затрат капитала и труда:

∆К=49-50=-1; ∆L=11-10=1;

Средние продукты труда и капитала при затратах (50;10) равны:

 

Произведённый продукт у при затратах (49;11) равен:

у(49;11)=150+0,25*3*(-1)+0,75*15*1=160,5 единиц продукта.

Предельная норма замещения ресурсов.Перемещение точки затрат вдоль изокванты сопровождается непрерывным замещением i-го фактора j-м фактором при постоянном уровне производства продукта У. Это приводит к необходимости введения понятия предельной нормы замещения i-го фактора j-м фактором. Предельная норма замещения i-го фактора j-м фактором равна дополнительному количеству j-го фактора, которое компенсирует уменьшение i-го фактора на единицу при постоянном уровне производства продукта и постоянном потреблении других факторов:

(3.19)

Для двухфакторной производственной функции предельная норма замещения капитала трудомпоказывает, сколько единиц ресурса L может быть высвобождено (привлечено) при увеличении (уменьшении) затрат ресурса K на единицу:

(3.20)

Аналогично может быть определена предельная норма замещения труда L капиталом К.

Эластичность замещения ресурсов (σ) используется для количественной оценки скорости изменения предельной нормы замещения.

Величина (σ) показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурса К к ресурсу L при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения изменилась на один процент (характеризует скорость изменения предельной нормы замещения γ при движении вдоль изокванты).

σ=[∂(K/L)/(K/L)]/(∂γLK/γLK) (3.21)

 

Закон уменьшающейся предельной производительности ресурса(или закон убывающей отдачи ресурса – пояснение к третьему свойству производственной функции). Смысл этого закона заключается в следующем. Если некоторые или хотя бы один из факторов производства, которые используются в производственном процессе, являются фиксированными в течение некоторого промежутка времени (например, количество станков предприятия может не изменяться в течение года), тогда предельная производительность переменных факторов производства либо сразу, либо начиная с определенного момента, непременно начнет снижаться.

Например, в краткосрочном периоде переменным фактором производства является труд. Можно изменить количество затрачиваемого труда, нанимая дополнительных работников. Последовательное привлечение дополнительных работников, при фиксированном количестве станков, хотя и будет увеличивать выпуск продукции фирмы, однако этот прирост продукции от работы каждого следующего нанимаемого работника окажется меньше по сравнению с тем приростом продукции, который был получен фирмой от работы предыдущего нанятого ею работника. Это означает, что предельная производительность, т.е. продукт последнего нанятого работника (предельный продукт труда) убывает по мере увеличения числа работников на фирме.

Закон относится не только к убыванию предельной производительности труда. Аналогичным образом он действует применительно к любому другому фактору производства, являющимся переменным. Например, если фиксированы затраты труда, но при этом наращивается количество сырья и материалов, используемых в процессе производства продукта, то материалоотдача от каждой дополнительной единицы затрат сырья будет снижаться.

Влияние масштаба производства и однородность производственной функции. Производственная функция обладает свойством однородности, которое математически выражает отдачу производственной системы от расширения масштабов производства. Пропорциональное увеличение всех факторов производства λ раз не изменяет структуру производства, а приводит к равному для всех факторов изменению средних и предельных продуктов. В общем случае, производственная функция удовлетворяет равенству:

(3.22)

где постояная δ называется степенью однородности производственной функции.

Для случая двух переменных K и L однородность производственной функции f(L,K) определяется в частности:

(3.23)

Неоклассическая производственная функция является однородной функцией первой степени, для которой справедливо:

3.24)

Поэтому говорят, что неоклассическая функция является линейно-однородной.

В случае неклассической производственной функции со степенью однородности равной единице, увеличение масштаба производства (увеличение всех затрат факторов в λ раз) приводит к пропорциональному увеличению выпущенного продукта в λ раз:

(3.25)

Можно доказать, что для производственной функции f(L,K) со степенью однородности равной единице, имеет место тождество, имеющее важное экономическое значение:

(3.26)

Т.е. произведённый продукт Y может быть представлен в виде суммы и разделён на две части. Первое слагаемое VkК показывает вклад затраченного капитала в полученный продукт Y. Второе слагаемое VLL представляет вклад затрат труда в произведённом продукте Y. Это позволяет оценить вклад труда и капитала в произведённый продукт.

Пример 3.11.Производственная система описывается производственной функцией со степенью однородности равной единице. Система за период времени произвела 200 единиц продукции, затратив 50 единиц капитала и 10 единиц труда. Коэффициенты эластичности по капиталу и труду равны 0,25 и 0,75. Определить вклад труда и вклад капитала в произведенную продукцию.

Средние отдачи капитала и труда равны:

Предельные отдачи капитала и труда находим с помощью коэффициентов эластичности:

Окончательно, вычисляем вклад затрат капитала и труда в произведённую продукцию:

Следовательно, производственная система создала 50 единиц продукции за счёт потребления 50 единиц капитала и 150 единиц продукции в результате преобразования 10 единиц труда.

3.3.4 Графический анализ производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.

Кривая совокупного продукта отражает, как изменяется выпуск продукции при изменении одного из факторов, когда другие остаются постоянными. На рис. 3.15а изображена кривая совокупного продукта, отражающая соотношение между количеством применяемого труда и объёмом продукции. Кривая показывает, что максимально возможный выпуск продукции при постоянном количестве всех других факторов, может быть достигнут в точке С, когда количество часов труда в месяц равно L**. Если применить большее количество часов труда, в соответствии с той частью кривой, которая обозначена пунктиром, производство продукции уменьшится. Естественно, точки, принадлежащие этой части кривой, не включаются в производственную функцию, так как объём продукции, соответствующий этим точкам, может быть произведён с меньшими затратами труда и при том же количестве других факторов производства.

Можно построить кривые средней и предельной отдачи ресурсов, используя кривую совокупного продукта (см.рис. 15а, 15б). Средний продукт труда можно определить, измерив наклон луча, исходящего из начала координат и проходящего через точку на кривой общего продукта. Так, на рис.3.15а тангенс угла наклона луча, проведённого из начала координат через точку А, равен У1/L1 , т.е. среднему продукту при трудозатратах L1.

Средний продукт труда достигает максимума при использовании количества часов труда, соответствующего точке касания луча, выходящего из начала координат, к кривой совокупного продукта. Это точка В на графике (рис.3.15а), в которой используется L* часов труда в месяц, при неизменных других факторах, и объём выпуска равен Y*. В этой точке средний продукт труда равен Y*/ L*, чем измеряется наклон луча ОВ. Проведя различные лучи через кривую совокупного продукта, и определив их наклон, можно увидеть, что средний продукт труда увеличивается до точки В, которой соответствует применение L* часов труда, и потом начинает снижаться по мере увеличения применяемого труда. Кривая среднего продукта показана на Рис.3.15б. По вертикальной оси откладывается величина средней величины продукта, измеряемая в единицах произведенной продукции за час труда.

Поскольку предельный продукт есть первая производная функции совокупного продукта, то можно измерить предельную отдачу как тангенс угла наклона касательной, проведенной к данной точке кривой совокупного продукта.

Рис. 3.2 Графическое представление производственной функции, средней и предельной отдачи ресурса.

Наклон касательной к каждой точке кривой совокупного продукта определяет изменение объема выпуска продукции для очень малых изменений в затратах труда: . Эта величина показывает предельный продукт каждого часа труда. Точка А −это точка перегиба кривой совокупного продукта, в которой изменяется вогнутость кривой. Наклон кривой совокупного продукта, а следовательно, и предельный продукт труда, увеличиваются до точки А;после прохождения точки Аэти величины начинают уменьшаться. В точке перегиба вторая производная производственной функции по L равна нулю. В этой точке первая производная имеет максимальное значение.

На рис. 3.15б кривая предельного продукта построена в той же системе координат, которая используется для кривой среднего продукта. Предельный продукт достигает своего максимума раньше, чем средний продукт. Предельный продукт снижается до нуля в точке L** часов труда, в которой тангенс угла наклона кривой совокупного продукта равен нулю. Если производство продолжать после достижения точки С,объем выпуска будет сокращаться. У предельного продукта дополнительных затрат труда после точки L** будет отрицательное значение.

Таким образом, динамика среднего и предельного продуктов переменного фактора основывается на конфигурации кривой совокупного продукта.

В общем виде можно сформулировать правило взаимосвязи между средними и предельными величинами. До тех пор, пока значение предельного показателя больше значения среднего показателя, последний возрастает. С того момента, когда значение предельного показателя становится меньше значения среднего показателя, последний начинает убывать. Значение предельного показателя равно значению среднего показателя в той точке, где функция, описывающая средний показатель, достигает своего экстремума (максимума или минимума).

3.3.5 Основные зависимости для линейной производственной функции.

Рассмотрим использование факторов производства, при котором возможно как компенсация уменьшения затрат одного фактора увеличением другого, так и полное замещение одного фактора производства другим. Производственный процесс, который удовлетворяет условиям совершенной взаимной дополняемости факторов, называется гибким производственным процессом. Производственная функция для системы с гибким производственным процессом, для которой характерна линейная связь между затратами факторов и выпуском продукта, называется линейной производственной функцией.

Линейная производственная функция задаётся уравнением:

y=f(L,K)=aL+bK, (3.27)

где а и b- положительные постоянные.

Следует отметить, что линейная производственная функция не обладает рядом основных свойств, которые присущи по определению неоклассическим производственным функциям. Нарушается первое свойство производственной функции, согласно которому при отсутствии затрат одного из факторов производится нулевой продукт. Пусть затраты труда равны нулю, тогда продукт неокласической производственной функции также равен нулю. Однако, для линейной производственной функции продукт равен:

y=f(0,K)=bK

Другими словами, изокванты линейной производственной функции пересекают оси координат.

Уравнения изокванты линейной производственной функции (ЛПФ) определяются выражением

: (3.28)

Семейство изоквант ЛПФ имеет вид параллельных прямых с угловым

коэффициентом –a/b (рис. 3.16):

 
 

 


Рис. 3.16 Карта изоквант линейной производственной функции.

 

Экономический смысл ЛПФ: эта функция описывает технологию, характеризующуюся тем, что факторы производства, используемые в производственном процессе, являются абсолютно взаимозаменяемыми, т.е. менеджеру все равно, использовать только труд или только капитал. Понятно, что в реальной жизни такая ситуация вряд ли возможна, потому что машины все равно управляются людьми.

Линейная производственная функция обладает свойством постоянства предельной отдачи каждого фактора производства. Увеличение одного фактора при фиксации затрат другого фактора не уменьшает величину предельной отдачи (производительности) ресурса.

Это позволяет дать экономическую интерпретацию постоянных коэффициентов линейной производственной функции как значений предельной отдачи труда и капитала соответственно:

 

VL= a

(3.29)

Vk= b

 

Для средней отдачи труда и капитала получаем:

(3.30)

где к- фондовооруженность.

Если предельные отдачи ресурсов есть величины постоянные, то средние отдачи изменяются в зависимости от фондовооружённости k. С ростом фондовооруженности средняя производительность труда увеличивается, а средняя отдача капитала уменьшается.

Коэффициенты эластичности выпуска по ресурсам:

(3.31)

Предельная норма замещения труда капиталом для линейной производственной функции есть величина постоянная:

(3.32)

Эластичность замещения труда капиталом линейной производственной функции равна бесконечности, так как .

Определить коэффициенты линейной производственной функции можно методом множественной линейной регрессии по эмпирическим данным о системе производства, которые должны включать величины затрат труда и капитала и количество произведённого продукта.

Несмотря на указанные недостатки линейных производственных функций, они получили широкое распространение при моделировании крупномасштабных производственных систем, таких как отрасли промышленности и национальные экономики, когда выпуск агрегатированного продукта обеспечивается одновременным функционированием огромного множества разнообразных технологических процессов.

3.4 Экономико-математические модели управления запасами.

Основной функцией управления запасами является обеспечение производственного процесса необходимым количеством сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий, тары и т.д. по мере возникновения потребности, а также обеспечение наличия готовой продукции к моменту ее поставки потребителю.

Практически трудно обеспечить такую степень координации планов снабжения, производства и поставки с тем, чтобы сырье поступало именно в тот момент, когда оно включается в процесс производства, и чтобы производственный цикл заканчивался именно тогда, когда продукция должна быть отправлена потребителю.

Поэтому необходимо планировать создание запасов как сырья, материалов (производственные запасы), так и готовой продукции (товарные запасы).

3.4.1 Понятие и классификация систем управления запасами.

Выделяют основные условия, которым должны удовлетворять системы управления материальными запасами: во-первых, объем запасов должен обеспечивать непрерывность производственного процесса; во-вторых, размер запасов должен быть минимальным в целях сокращения затрат на хранение запасов, на строительство складских помещений и иммобилизацию ресурсов.

В процессе управления запасами возникают следующие виды затрат:

· затраты на приобретение запасов,

· затраты на организацию заказа,

· на содержание и хранения запасов,

· потери от дефицита.

Затраты на приобретение запасов учитываются только в том случае, если цена единицы приобретаемой продукции зависит от величины партии, обычно это выражается в виде оптовых скидок. Поскольку эти затраты не зависят непосредственно от системы управления запасами на самом предприятии, они, как правило, не учитываются при построении моделей управления запасами.

Затраты на организацию заказа представляют постоянные расходы, связанные с размещением заказа (затраты по размещению заказов и заключению договоров, оплата всех услуг по доставке товарных запасов на склад), и чаще всего не зависят от размера заказываемой партии. Условно принимается, что эти затраты не зависят от величины заказа, а зависят от количества заказов в планируемом периоде.

Издержки хранения запасов зависят от величины запасов и связаны с хранением запасов на складе и естественной убылью. К ним относят постоянные расходы, связанные с содержание складов (аренда, отопление), а так же затраты, находящиеся в прямой зависимости от уровня запасов (расходы на переработку товарных запасов, потери от порчи, потери от иммобилизации средств в запасах, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной издержкам на единицу хранимого товара в единицу времени. Если рассматривать средства, вложенные в запасы как банковскую ссуду, то этот вид издержек может быть ассоциирован с процентной ставкой за кредит.

Потери от дефицита это расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимо ресурса. Эти издержки могут быть связаны с простоем оборудования, рабочих, переналадкой производственного процесса, оплатой сверхурочных часов работы, заменой материалов менее экономичными или более дефицитными, выплатой штрафов за несвоевременную – вследствие простоя производства – поставку произведенной продукции.

В практической деятельности используются разные системы регулирования запасов, основанные на разных стратегиях их пополнения. Параметрами этих систем являются: величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания их уровня, размер заказа на пополнение, периодичность заказа и др. На системы управления запасами оказывает влияние множество факторов, и это вызывает колебания величины параметров, становящихся таким образом случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материалов или время выполнения заказа. Системы различаются между собой в зависимости от того, какие из параметров выбраны в качестве регулирующих. В соответствии с данным признаком различают: модели систем с фиксированным размером заказа и модели систем с фиксированной периодичностью заказа.

В системах с фиксированным размером заказа размер заказа на пополнение запасов является величиной постоянной, а интервалы времени поставок ­ величина переменная.

В связи с этим регулируемым параметром является точка заказа, а именно критический уровень запаса :

(3.33)

где - страховой запас (для обеспечения работы в случае перебоев в снабжении или колебаниях в процессе потребления),

- среднесуточное потребление материалов,

- заготовительный период.

В качестве недостатка системы с фиксированным размером заказа выделяется необходимость регулярного учета движения остатков товаров на складе, чтобы не упустить момент наступления «точки заказа».

В системах с фиксированной периодичностью заказа товар поступает на склад через равные отрезки времени, а размер запаса регулируется за счет изменения объема партии. Регулируемым параметром является максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение. При этом под максимальным уровнем запаса рассматривается сумма страхового запаса, подготовительного запаса и максимального текущего запаса. Недостатком данной системы является необходимость делать заказ даже на незначительное количество материала, поскольку период поставки является величиной постоянной.

Модификацией двух рассмотренных систем является система «максимум-минимум», где интервал поставки не является фиксированным, заказы подаются при снижении запаса до минимального уровня, а размер заказа регулируется максимальным уровнем запаса.

В зависимости от характера спроса (потребности в ресурсах) различают детерминированные и стохастические модели управления запасами.

Детерминированные модели, в свою очередь, по учету фактора времени делятся на динамические, в которых спрос со временем меняется, и статические, в которых спрос во времени остается неизменным.

Стохастические модели могут быть стационарными, в которых плотность вероятности спроса неизменна во времени, и нестационарными, в которых плотность вероятности случайной величины спроса изменяется во времени.

Другим важным фактором, учитываемым при моделировании систем управления запасами, является срок выполнения заказа (интервал времени между размещением заказа и его поставкой). Если этот фактор учитывается, то модель называется моделью с запаздыванием поставок.

В моделях может быть учтена интенсивность поставок. Как правило, при пополнении запаса из внешнего источника вся партия поставляется одновременно. Пополнение же запаса с некоторой интенсивностью чаще всего осуществляется самим предприятием, когда продукция одного цеха (полуфабрикат) передается в другой цех.

По допущению дефицитов запасов различают модели, допускающие дефицит, и модели, требующие бездефицитной работы.

И, наконец, по количеству разновидностей рассматриваемых в процессе моделирования запасов могут быть выделены однономенклатурные модели (создается один вид запасов) и многономенклатурные.

3.4.2 Простая однономенклатурная статическая модель управления запасами.

Рассмотрим модель простой системы управления запасами на примере склада. Эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима, но для составления простейшей однопродуктовой статической модели управления запасами делаются следующие предположения:

- скорость расходования запасов со склада (спрос) является постоянной величиной, обозначим ее v (единиц товарных запасов в единицу времени),

- объем поступающей партии qявляется постоянной величиной,

- интервал времени между двумя поставки t (цикл) является постоянным,

дефицит недопустим,

- запас пополняется мгновенно от 0 до величины .

Динамика изменения уровня запаса на складе имеет вид, представленный на рис.3.17:

Рис. 3.17 График пополнения запаса идеального склада.

Обоснуем формулу для определения оптимального размера партии заказа, который обеспечивает минимум затрат.

Введем обозначения:

К ­ затраты, не зависящие от объема партии,

S ­ затраты на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени.

Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Величина среднего размера запасов за время t равна .

Таким образом, суммарные затраты за время t при размере партии равны:

(3.34)

Учитывая, что , величина затрат на пополнение и хранение запасов в единицу времени равна:

(3.35)

Это выражение является целевой функцией, минимизация которой позволяет определить оптимальные режим работы склада. Так, оптимальный размер партии, при котором обеспечивается минимум затрат на пополнение и хранение запаса, можно определить методами дифференциального исчисления:

,

откуда оптимальный размер партии:

. (3.36)

Эта формула называется формулой Уилсона по имени английского ученого­экономиста, который ее вывел в 20-х годах XX столетия.

Используя формулу Уилсона можно определить ряд расчетных характеристик работы идеального склада в оптимальном режиме:

оптимальная периодичность пополнения запасов

, (3.37)

минимальные суммарные затраты на управление запасами в единицу времени

. (3.38)

 

Пример 3.12Растительное масло разливается по бутылкам на линии разлива и упаковки. Затраты на организацию поставок масла составляют 700 ден.ед., спрос на масло 140 тыс. литров в месяц, стоимость хранения 1 литра в течение месяца ­ 4 ден.ед. Определить оптимальные параметры системы. Сравнить рассчитанные оптимальные затраты с затратами по действующей системе разлива партии в течение 3-х дней.

Исходные данные: К=700 ден.ед, =140000 л., S=4 ден.ед., =3 дня.

Расчет оптимальных параметров:

· оптимальный размер партии

литров,

· оптимальная длительность цикла

мес. = 1,5 (дня),

· затраты на поставку и хранение

ден.ед. (в месяц).

Фактические показатели работы:

· цикл поставки составляет 3 дня или 0,1 месяца,

· размер партии литра,

· затраты за месяц составляют (из формулы 3.34)

ден. ед.

Сравнивая рассчитанные оптимальные показатели работы системы с их фактическими значениями, можно сделать следующий вывод. Если установить цикл поставки в 1,5 дня (вместо 3-х дней), а размер партии поставки сделать равным 7000 литрам (вместо фактических 14000 литров), можно снизить издержки функционирования системы с 35000 ден. ед. до 28000 ден. ед. в месяц.

 


РАЗДЕЛ IV. Модели народно-хозяйственного, отраслевого и регионального регулирования.

В этот раздел вошли балансовые модели, позволяющие органам государственного управления проводить комплексные многовариантные расчеты для оценивания влияния параметров государственного регулирования на макроэкономические показатели, а так же модели оптимального отраслевого и регионального регулирования. Последний вид моделей занимает промежуточное положение между моделями оптимального планирования микроэкономики и макроэкономическими моделями регулирования структуры общественного продукта, создаваемого всеми отраслями народного хозяйства.

4.1 Общие модели развития экономики. Балансовые методы в моделировании социально-экономических систем.

Производственный сектор экономики страны является наиболее важным объектов, функционирующий в сложной сети межотраслевых связей. Межотраслевые модели, разработанные лауреатом Нобелевской премии Леонтьевым В.В., как раз и предназначены для получения информации о производственном секторе экономики страны с целью обоснованного планирования межотраслевых поставок продукции по заданным количествам конечных спросов продукции. С этой же целью этот тип моделей может быть использован и на уровне мировой экономики, и на уровне отдельного региона и отдельного предприятия. Межотраслевые модели занимают вполне определенное место в классификации экономико-математических моделей. Они являются (по признакам целевого назначения, характеру моделируемых экономических отношений, используемых математических отношений) прикладными структурными линейными детерминированными моделями. Чаще межотраслевые модели называют моделями межотраслевого баланса (МОБ).

4.1.1 Предпосылки формирования и классификация МОБ

Под балансовой моделью понимают систему уравнений, которые удовлетворяют требованию соответствия наличия ресурса и его использования. Примерами могут быть необходимость соответствия между производимым количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции, соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и т.д. В общем случае балансовые модели позволяют исследовать, какими должны быть пропорции и каков механизм их установления и поддержания в экономической системе для нормального протекания процесса воспроизводства. Это единственный вид моделей, которые позволяют установить основные макроэкономические пропорции ­ народнохозяйственные, внутриотраслевые и территориальные. Их развернутое описание содержит система балансов народного хозяйства, разработка которой явилась в свое время большим достижением экономической науки. Наиболее общие народнохозяйственные пропорции описываются балансами производства, потребления и накопления совокупного общественного продукта; производства, распределения, перераспределения и использования национального дохода; трудовых ресурсов; основных фондов, оборотных средств.

В межотраслевых балансовых моделях предполагается, что производственный сектор экономики разделен на некоторое количество отраслей. По многим причинам исходные данные реальных хозяйственных отраслей не могут быть использованы в балансовых моделях непосредственно, поэтому весьма серьезной проблемой является подготовка информации для ввода в модель. Поэтому при построении модели межотраслевого баланса используется понятие чистой (или технологической) отрасли. В отрасль объединяются все процессы производства одного продукта независимо от ведомственной (административной) подчиненности и форм собственности предприятий и фирм. Переход от реальных хозяйственных отраслей к чистым отраслям требует специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов, агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и др.

Предпосылки формирования метода межотраслевого баланса:

а) необходимость согласования системы балансов, отражающих отдельные аспекты воспроизводства с наиболее общими пропорциями развития экономики.

Основу системы балансов составляют: баланс производства и распределения общественного продукта; баланс трудовых ресурсов; материально-финансовый баланс. Эти балансы дополняются балансами: основных фондов; денежного оборота; доходов и расходов населения

б) Необходимость разделения совокупного общественного продукта на промежуточный и конечный, при этом показатели конечного потребления рассматриваются в качестве отправного момента в расчете всей системы показателей производства.

в) Необходимость обеспечения многовариантности расчетов показателей производства в зависимости от изменяющихся показателей конечного потребления.

Различают варианты классификаций межотраслевых балансов по следующим признакам:

· по степени детализации номенклатуры: укрупненные и развернутые;

· по применяемым измерителям: натуральные, стоимостные, натурально–стоимостные;

· по характеру экономико-математической модели: статические и динамические;

· по широте охвата экономических процессов: макроэкономические межотраслевые балансы, отраслевые балансы и балансы промышленных предприятий.

Все виды балансовых моделей на всех уровнях объединяет не только матричный принцип построения и единство системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости балансовых моделей на примере одной из них, а именно на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

4.1.2 Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.

Рассмотрим принципиальную схему межотраслевого баланса производства и распределения общественного продукта в стоимостном выражении.

Построение схемы МОБ основано на принципах деления валового общественного продукта по материально- вещественному и стоимостному составу.

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей материального производства (промышленность, строительство, сельское хозяйство, прочие отрасли материального производства), число которых равно n. Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и потребляющая.

Отрасли как производителю продукции соответствует определенная i-ая строка, как потребителю продукции – определенный j-ый столбец. Таким образом, i=j=n.

Перейдем к рассмотрению межотраслевого баланса в разрезе его крупных составных частей (см. табл. 4.1).

Таблица 4.1

Схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции.

 

 

  Производящие отрасли Текущее производственное потребление в отраслях(Xij) Конечный продукт(Yi) Валовая продукция(Xi)
Потребляющие отрасли   …j… n
x11 x12 …x1j x1n Y1 x1
x21 x22 …x2j x2n Y2 x2
xi1 xi2 …xij xin Yi xi
n xn1 xn2 …xnj xnn Yn xn
Условно-чистая продукция (Zj) Z1 Z2 …Zj Zn    
Валовая продукция (Xj) x1 x2 …xj xn    
                             

 

Выделяются четыре части (квадранта), имеющие различное экономическое содержание (I – IV)

В I-ом квадранте содержатся межотраслевые потоки средств производства. По виду представляет собой квадратную матрицу порядка n, элементами матрицы являются Xij – затраты на текущее производственное потребление в качестве материальных затрат в j-ой отрасли продукции, произведенной в i-ой отрасли.

Во II-ом квадранте представлена конечная продукция Yi всех отраслей материального производства. При этом под конечной понимается продукция, которая выходит из сферы производства в область конечного использования (на потребление и накопление). Структура конечного продукта рассматривается по направлениям его использования - на личное потребление населения, общественное потребление, на накопление (накопление основного капитала и изменение запасов материальных оборотных средств), а также экспорт (сальдоэкспорта-импорта). Второй квадрант характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

III–ий квадрант характеризует национальный доход с позиции его стоимостного состава. В третьем квадранте представлена условно-чистая продукция Zj , которая определяется как сумма амортизации и чистой продукции. В свою очередь, чистая продукция равна сумме оплаты труда и чистого дохода отрасли.

IV-ый квадрант находится на пересечении столбцов II и III квадрантов, отражает конечное распределение и использование национального дохода. В результате перераспределения первоначально созданного национального дохода образуются конечные доходы населения, предприятий, государства через различные каналы распределения (финанасово-кредитную сферу, сферу обслуживания и т.д.). Данные четвертого квадранта важны для отражения в межотраслевой модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капитальных вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей. Общий итог IV квадранта, также как и II, и III, должен быть равен созданному за период национальному доходу.

(4.1)

Валовая продукция отраслей непосредственно не входит в рассмотренные выше квадранты, однако она иногда представляется на схеме МОБ в виде последнего столбца и последней строки. С точки зрения показателя валовой продукции рассматриваются взаимосвязи между квадрантами МОБ.

В столбцах баланса отражается структура материальных затрат и условно-чистой продукции каждой отрасли.

Предположим, что на нашей схеме 1-ая отрасль – это производство электроэнергии, 2-ая – угольная промышленность. Тогда величина X11 показывает стоимость электроэнергии, израсходованной внутри 1-ой отрасли для собственных производственных нужд. Величина X21 отражает затраты угля в производстве электроэнергии. В целом же столбец X11, X21, X31, … Xn1 характеризует структуру материальных затрат 1-ой отрасли в разрезе отраслей – поставщиков. Очевидно, что сумма материальных затрат и добавленной стоимости для любой j-той потребляющей отрасли равна валовой продукции этой отрасли:

(4.2)

Уравнение (4.2) выражает взаимосвязь I и III квадрантов и характеризует стоимостной состав (структуру) продукции j-той отрасли.

 

По всей экономике для всех j-тых потребляющих отраслей:

( ) (4.3)

В строках межотраслевого баланса содержатся данные о распределении годового объема продукции каждой отрасли материального производства.

Так, в строке 1-ой отрасли величины X11, X12, X13, … X1n обозначают количество электроэнергии, израсходованной внутри самой отрасли, в угольной промышленности и во всех остальных отраслях. Величина Y1 – это затраты электроэнергии вне сферы материального производства, то есть для целей конечного потребления (личного и общественного). Суммирование всех величин первой строки позволяет рассмотреть взаимосвязи I и II квадрантов и выражают направления использования валовой продукции, созданной i-тыми производящими отраслями.

Запишем уравнение взаимосвязи между I и II квадрантами, для i-той отрасли

(4.4)

Для всех i-тых производящих отраслей по всему народному хозяйству

( ) (4.5)

Это уравнение характеризует материально-вещественную структуру валовой продукции отрасли.

Суммирование всех величин первой строки должно привести к тому же итогу, что и суммирование в первом столбце, так как в обоих случаях речь идет об одной и той же величине - валовой продукции определенной отрасли.

(4.6)

На основании (4.2), (4.4) и (4.5) можно вывести:

(4.7)

Смысл выражения (4.7): материально-вещественный состав производимой продукции тождественнен своему стоимостному составу.

На основании (4.3) , (4.5) и (4.6) можно вывести:

, т.е.

(4.8)

 

Левая часть выражения (4.8) есть сумма элементов третьего квадранта, а правая часть ­ итог второго квадранта. Это уравнение показывает, что в межотраслевом балансе соблюдается важнейший принцип единства материально-вещественного и стоимостного состава национального дохода.

4.1.3 Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

Расчеты межотраслевого баланса на основе уравнений (4.4) производить трудно из-за сложности информационного обеспечения элементов промежуточного потребления . Поэтому расчеты основываются на системе нормативов расходов факторов производства. В составе этой системы важное место занимают коэффициенты прямых и полных затрат материальных ресурсов (коэффициенты прямых и полных материальных затрат).

Введем понятие «Коэффициент прямых материальных затрат» аij, который показывает, какое количест


Поделиться:

Дата добавления: 2014-11-13; просмотров: 166; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты