Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Функции от случайных величин. Формула свертки

Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. III. Вегетативные функции НС.
  3. III. Функции полномочного представителя
  4. IV.1.3. Формула Клина
  5. SQL-функции
  6. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  7. Агрегатные индексы. Проблема соизмерения индексируемых величин.
  8. Анатомия ствола головного мозга (структуры и функции).
  9. Анатомия, гистология, функции наружной оболочки глаза.
  10. Аритмии, обусловленные нарушением функции проводимости

Задача 1. Случайная величина x равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .

Решение.

Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию , производная которой равна Кроме того, , . Следовательно,

Значит,

Задача 2.Пусть двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Вычислить вероятность неравенства x>h.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин x, h равна

Событие соответствует множеству на плоскости, т.е. полуплоскости. Тогда вероятность

 

Рис. 7.1.

 

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества и 1/2 – внутри множества . Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: и . Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам и , причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому

.

 

Если задана совместная плотность распределения случайной пары (x,h), то плотности и составляющих x и h называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями рx(х), рh(у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство

.

Задача 3.В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора x и h.

Решение. Вычислим частные плотности и . Имеем:

Аналогично,

Очевидно, что в нашем случае , и потому случайные величины x и h зависимы.

Числовые характеристики для случайного вектора (x,h) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть — совместная плотность величин x и h, а y(х,у) — функция двух аргументов, тогда

.

В частности,

Задача 4. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде

,

двойной интеграл можно вычислить как повторный:

Задача 5.Пусть x и h — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром . Вычислить плотность суммы .



Решение. Поскольку x и h распределены по показательному закону с параметром , то их плотности равны

Следовательно,

 

Поэтому

Если x<0, то в этой формуле аргумент функции отрицателен, и поэтому . Следовательно, Если же , то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

Задача 6. Двумерный случайный вектор (x, h) равномерно распределен внутри треугольника . Найти условное распределение x при условии h=y и функцию регрессии jx|h(y).

Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),

и

Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность:

Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2–y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем jx|h(y)=(2–y)/2, 0<y<2.

 


Дата добавления: 2015-01-29; просмотров: 65; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Непрерывные случайные величины | Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.039 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты