Саратов 2012

Саратовский государственный технический университет

ОБРАБОТКА ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

Методическое указание

к лабораторной работе по дисциплине «Информационные технологии» для студентов специальностей 210601 и 210700.62

Одобрено

Редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2012

Цель работы: изучение приемов алгоритмической и программной реализации методов регрессионного анализа для обработки числовых данных.

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Обработка числовых данных на ЭВМ

Обработка числовых данных на ЭВМ, установленных, например, экспериментально играет важную роль в различных отраслях знаний, включая научные исследования, инженерную практику, статистику, медицину и т.д. Данное направление информационных технологий базируется на разделах прикладной математики, посвященных созданию вычислительных моделей для аппроксимации определенных объемов числовых данных. С помощью методов регрессионного анализа удается установить форму связи между случайными величинами, то есть подобрать такую функцию, которая наилучшим образом описывает поведение чисел в базе данных [1].

Для автоматизированной обработки числовых данных в настоящее время создано достаточно много пакетов прикладных программ, в том числе: Mathematica, STATISTICA, Excel, STATGRAPHICS, STADIA и др. В программе Excel, к примеру, процедура аппроксимации графика однофакторной функции реализуется щелчком правой клавиши мыши при подведении курсора к линии графика. В качестве приближающих зависимостей в Excel предусмотрены линейные и нелинейные (полином степени не выше 6, степенная, экспоненциальная и логарифмическая) функции. Подробное описание этой процедуры дано в методическом указании к выполнению практической работы № 1.

Одним из наиболее мощных пакетов для этих целей считается TableCurve3D, предназначенный для получения двухфакторных зависимостей посредством нескольких сотен числовых моделей, встроенных в этот пакет. Точность аппроксимации здесь оценивается коэффициентом регрессии, который определяется программой автоматически.

Несмотря на наличие таких удобных инструментов как пакеты прикладных программ иногда может возникнуть ситуация, когда эти программы не доступны, либо они не дают возможность достигнуть приемлемой точности аппроксимации данных. Тогда необходимо создать программу автоматической обработки числовых данных, которая позволяет решить эту проблему. Рассмотрим один из наиболее часто используемых методов аппроксимации.

1.2 Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате измерений (или численного моделирования) получена таблица некоторой зависимости f :

Таблица 1

Требуется найти функцию заданного вида:

y = F(x) (1),

которая в точках x₁, x₂ , x_n, которая принимает значения как можно более близкие к табличным значениям y₁, y₂, y_n . Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. По таблице 1 строится точечный график функции f , а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек (рис.1). По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).

Формула (1), которую называют уравнением регрессии, позволяет находить значения функции f для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Рассмотрим один из распространенных способов нахождения (1). Предположим, что приближающая функция F в точках x₁, x₂ , x_n имеет значения: ŷ₁, ŷ₂ , .. . , ŷ_n.

Рис.1

Рассмотрим обе совокупности значений f(x) как координаты двух точек n-мерного пространства. Тогда задачу можно сформулировать следующим образом: найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками G(y₁, y₂, y_n) и Ĝ(ŷ₁, ŷ₂ , .. . , ŷ_n) было наименьшим. Это требование можно выразить [2] как:

(y₁ - ŷ₁)² + (y₂ - ŷ₂ )² + . . . + (y_n - ŷ_n)² => min (2)

Задача (2) носит название приближения функции методом наименьших квадратов. В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f(x) часто используют следующие функции: y = ax + b; y = ax² + bx + c; y = ax^m; y = aexp(mx); y = (ax + b)^-1; y = alnx + b; y = (a/x) + b. Здесь a, b, c, m - параметры. Когда вид приближающей функции установлен, задача сводится только к отысканию значений параметров.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере функции с тремя параметрами:

y = F(x, a, b, c) (3)

Итак, имеем: F(x_i, a, b, c) = ŷ_i , i = 1, 2, …, n. Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций f и F будет иметь вид:

(4)

Эта сумма является функцией Ф(a, b, c) трех переменных. Задача сводится к отысканию ее минимума. Используя необходимое условие экстремума:

∂Ф/∂а = 0; ∂Ф/∂b = 0; ∂Ф/∂c = 0 (5)

или (6)

(7)

(8)

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно параметров a, b, c мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c). Значения найденной функции в точках x₁, x₂ , x_n будут отличаться от табличных значений y₁, y₂, y_n. Значения разностей:

y_i - F(x_i, a, b, c) = ε_i (i=1, 2, …., n) (9)

называются отклонениями измеренных значений от вычисленных. Для найденной эмпирической формулы (3) в соответствии с исходной таблицей 1 можно найти сумму квадратов отклонений:

(10)

которая в соответствии с принципом наименьших квадратов для заданного вида приближающей функции (и найденных значений параметров a, b и c) должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, следуя принципу наименьших квадратов, лучшим нужно считать то, для которого сумма (10) имеет наименьшее значение.

1.3 Линейная и квадратичная регрессия

Найдем приближающую функцию в виде:

F(x, a, b) = ax + b (11)

Частные производные по параметрам:

∂F/∂а = x; ∂F/∂b = 1 (12)

Составим систему вида (6-8):

∑ (y_i - ax_i - b)x_i = 0; ∑ (y_i - ax_i - b) = 0 (13)

Сумма здесь и далее берется по параметру i в пределах от 1 до n . Далее имеем:

∑ x_i y_i - a∑ x²_i - b∑x_i = 0; ∑ y_i - a∑ x²_i - nb = 0 (14)

или, деля каждое уравнение на n:

(n^-1 ∑ x²_i) · a +(n^-1 ∑x_i) · b = n^-1 ∑ x_i y_i (15)

(n^-1∑x_i) · a + b = n^-1 ∑ y_i (16)

Введем обозначения:

M_x = n^-1∑x_i ; M_y = n^-1 ∑ y_i ; M_xy = n^-1 ∑ x_i y_i ; M_x² = n^-1 ∑ x²_i; (17)

Тогда система будет иметь вид:

M_x²a + M b = M_xy ; M_x a + b = M_y (18)

Коэффициенты этой системы M_x, M_y, M_xy, M_xy, - числа, которые в каждой конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по формулам (17). Решив систему (18), получим значения параметров a и b, а следовательно, и конкретный вид линейной функции (11).

Для квадратичной приближающей функции:

F(x, a, b ,c) = ax² + bx + c (19)

Частные производные:

∂F/∂а = x²; ∂F/∂b = x, ∂F/∂c = 1 (20)

Находим систему вида (6) - (8):

∑ (y_i - ax²_i - bx_i - c)x²_i = 0; ∑ (y_i - ax²_i - bx_i - c)x_i = 0 (21)

∑ (y_i - ax²_i - bx_i - c) = 0 (22)

После несложных преобразований получается система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Коэффициенты системы, так же как и в случае линейной функции, выражаются через неизвестные данные из таблицы 1:

M_x⁴ a + M _x³ b + M _x² c = M _x²_y ;

M_x³ a + M _x² b + M _x c = M _xy ; (23)

M_x² a + M _x b + c = M _y ;

Здесь использованы следующие обозначения:

M_x⁴ = n^-1 ∑x⁴_i ; M_x³ = n^-1 ∑x³_i ; M _x²_y = n^-1 ∑x²_iy_i (24)

Решение системы (23) дает значения параметров a, b и с для приближающей функции (19). Примеры нахождения приближающих функций в виде других элементарных функций представлены в работе [2].

2. ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТ

Cоставить алгоритм и программу аналитической аппроксимации функции, заданной таблично. Найти такие значения δ₁ и δ₂, входящие в уравнение (25), при которых погрешность аппроксимации табличной функции с помощью соотношения (25) минимальна. Внести предложения по модификации соотношения (25) с целью снижения величины абсолютной погрешности.

(25)

Ниже приведены примеры программ в системе MathCad и MatLab для решения данного задания.

Варианты заданий:

Таблица 2

α = 4

Таблица 3

α = 9

Таблица 4

α = 16

3. ПРИМЕР ПРОГРАММНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

3.1. Программа поиска эмпирических коэффициентов по МНК в системе MathCad:

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

4.1 Наименование и цель работы.

4.2 Теоретическая часть.

4.3 Задание на расчет.

4.4 Результаты расчета и выводы.

4.5 Источники информации.

Литература

1. Алексеев А.П. Информатика 2003 / А.П. Алексеев. М.: Солон-Пресс, 2003. 464 с.

2. Заварыкин В.М. Численные методы / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. М.: Просвещение, 1991. 176 с.

ОБРАБОТКА ЧИСЛОВЫХ ДАННЫХ

Методическое указание

к лабораторной работе

Составил КОМАРОВ Вячеслав Вячеславович

Рецензент А.А. Димитрюк

Корректор Д.А.Козлова

Подписано в печать Формат 60х84 ^1/16

Бум. тип. Усл. печ. л. Уч. – изд. л.