Моделирование движений материальной точки

Для вычисления траектории движения необходимо решить систему уравнений

Второе равенство – основной закон динамики (второй закон Ньютона) для нерелятивистского движения , если Fизвестна в каждой точке в любой момент времени.

Заменим векторные уравнения на уравнения их проекций на координатные оси.

Для однозначного решения шести ДУ требуется 6 н.у.

.

В общем случае - сложная функция координат, скорости и времени, вследствие чего лишь в редких случаях можно аналитически решить систему(1), (2). Приходится использовать численные методы. Нужны все 6 условий. Все уравнения системы (2) однотипны и можно каждое решать методом Эйлера или Эйлера – Кромера. Процедура вычисления выглядит следующим образом:

· по известным значениям x₀ и v₀ в момент времени t₀ находят в момент t₁;

· затем по известным значениям v₀ и f₀ находят скорость ;

· далее повторяется процедура: по известным находят

· и т.д.

Как провести проверку точности вычислительной схемы? Можно применять следующие методы:

1. Уменьшение шага расчета. При достаточной точности вид траектории не должен меняться.

2. Сравнение с аналитическим решением.

3. Проверка выполнения законов сохранения (например, энергии, импульса).