Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Определенный интеграл.




 

Рассмотрим функцию f(x), непрерывную на отрезке [a, b]. Разобьем [a, b] на n частей точками a=x0< x1<…<xn=b. Введем обозначения:

 

 

Нижней и верхней интегральными суммами называются, соответственно, суммы следующего вида:

 

 

Рассмотрим нижнюю и верхнюю интегральные суммы функции f(x), неотрицательной и строго монотонно возрастающей на [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на n=4 равные части точками a=x0< x1< x2 <x3<x4=b. В силу монотонности функции f(x) будут справедливы следующие соотношения:

 

f(xi)< f(x)< f(xi+1) "xÎ( xi, xi+1) Þ mi = f(xi), Mi = f(xi+1), i=0,1,2,3.

 

С учетом этих соотношений, на Рис.1 изображены геометрические интерпретации, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм функции f(x):

 


Рис. 1. Геометрические интерпретации нижней и верхней интегральных сумм

 

Часть плоскости, ограниченная графиком неотрицательной на отрезке [a, b] функции f(x), прямой x=a, прямой x=b и осью Ox называется криволинейной трапецией.

 

Таким образом, нижняя интеграль­ная сумма функции f(x) численно равна сумме площадей соответствующих разбиению отрезка [a, b] прямоуголь­ников, целиком со­держащихся в криволинейной трапеции, верхняя – сумме пло­щадей прямо­угольников, целиком содержащих криволинейную трапецию.

 

Рассмотрим произвольное разбиение [a, b] на n частей и обозна­чим через Ln длину наибольшего из полученных промежутков Dxi:

 

Теорема 1. Нижняя и верхняя интегральные суммы непрерывной на отрезке [a, b] функции f(x) имеют конечный общий предел при неограниченном увеличении числа точек деления отрезка [a, b], если число точек деления уве­личивается таким образом, что Ln ® 0:

 

 

Из теоремы 1 следует, что при неограниченном увеличении числа точек деле­ния [a, b] сумма площадей прямоуголь­ников, целиком со­держа­щихся в криволи­нейной трапеции и сумма пло­щадей прямо­угольников, целиком содер­жащих кри­волинейную трапецию, имеют общий предел, который прини­ма­ют за площадь криволинейной трапеции.

 

Общий предел нижней и верхней интегральных сумм функции f(x) при соответствующем неограниченном увеличении числа точек деления отрезка [a, b] называется определенным интегралом от этой функции на отрезке [a, b] и обозначается

 

þ Определенный интеграл от неотрицательный функции f(x) на отрезке [a, b] численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

Если F(x) – произвольная первообразная функции f(x) на отрезке [a, b], то

 

- формула Ньютона-Лейбница

 

Определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b] равен разности значений ее произвольной первообразной на правой и левой границах промежутка.

Определенный интеграл на промежутке равен разности значений первообразной (приращению первообразной на этом промежутке):

 

Свойства определенного интеграла:

1.

2.

3.

4. , где с - некоторая точка, лежащая внутри отрезка

Пример:Если

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты