Глава 6. 6.1. Построение графиков функций без применения методов дифференциального исчисления

РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ЗАДАЧИ

6.1. Построение графиков функций без применения методов дифференциального исчисления

Рассмотрим случаи, когда построение графика функции легко осуществить без ее полного исследования методами дифференциального исчисления. При этом будем использовать графики основных элементарных функций, а также применять некоторые известные правила. Пусть кривая является графиком функции . Тогда графики нижеперечисленных функций получаются из при помощи следующих операций ( - константа):

1. - параллельный перенос вдоль оси OY на величину .

2. - параллельный перенос вдоль оси OX на величину .

3. - зеркальное отображение относительно оси OX.

4. - зеркальное отображение относительно оси OY.

5. - при – сжатие вдоль оси OY в раз; при – растяжение вдоль оси OY в раз.

6. - при – растяжение вдоль оси OX в раз; при – сжатие вдоль оси OX в раз.

7. - кривая остается без изменения на участках, где и зеркально отображается относительно оси OX на участках, где .

8. - график совпадает с кривой при и при этом симметричен относительно оси OY.

Пример 6.1. Построить график функции .

Решение. Процесс построения осуществим в три этапа (рис. 6.1):

кривая 1 – график функции ;

кривая 2 – график функции – строится путем сжатия кривой 1 вдоль оси OX в два раза;

кривая 3 – график заданной функции – строится путем сдвига кривой 2 на единицу вверх вдоль оси OY.

Пример 6.2. Построить график функции .

кривая 1 - график ;

кривая 2 - график – путем сдвига кривой 1 вправо на единицу вдоль оси OX;

кривая 3 - график – путем сжатия кривой 2 вдоль оси OY в два раза;

кривая 4 - график – зеркальное отображение кривой 3 относительно оси OX.

Пример 6.3. Построить график дробно-линейной функции .

Решение. Приведем один из возможных вариантов построения графика; для этого проведем преобразования:

, т.е. .

Строим последовательно графики (рис.6.3, 6.3а):

кривая 1 - график ;

кривая 2 - график - сдвиг кривой 1 вдоль оси OX на –2;

кривая 4 - график - зеркальное отображение кривой 3 относительно оси OX;

кривая 5 - график - сдвиг кривой 4 вдоль оси OY на 1 вверх.

Заметим, что график данной функции можно также легко построить, опираясь на известные свойства дробно-линейной функции (наличие вертикальной и горизонтальной асимптот) и определяя координаты точек пересечения графика с осями координат.

Пример 6.4. Построить график функции

Решение. Для строим график путем последовательного построения графиков функций применяя операции зеркального отображения относительно оси OX и сдвига на 1 вверх вдоль

Пример 6.5. Построить график функции .

Решение. Построим сначала график ; на рис. 6.5 ему соответствует штрих - пунктирная кривая 1. Графику на рис. 6.5 соответствует кривая 2 (сплошная линия). Она совпадает с кривой 1 на участках, где и является зеркальным отображением кривой 1 относительно оси OX на участках, где .

Пример 6.6. Построить график функции .

Пример 6.7. Построить график функции

Решение: Используя свойство модуля, запишем:

при при .

6.2. Задачи на вычисление предела последовательности

Пример 6.8. (неопределенность вида ).

Решение. =

= = .

Пример 6.9. (неопределенность вида ).

Решение.

= .

Пример 6.10. (неопределенность вида ).

Решение. = . Последнее, достаточно очевидное равенство можно строго обосновать, например, таким образом.

Обозначим , .

Поскольку , то по свойству бесконечно малых и бесконечно больших величин получим .

Пример 6.11. (неопределенность вида ).

Решение:

= .

Здесь учтено, что .

Пример 6.12. (неопределенность вида ).

Решение.

.

Пример 6.13. (неопределенность вида ).

Решение. =

=

,

поскольку .

Пример 6.14.

Решение: Заметим, что последовательность , соответствующая выражению в числителе, является ограниченной, поскольку при всех заведомо выполняется неравенство , откуда . Последовательность же является бесконечно малой, так как . В результате, согласно известному свойству, последовательность также является бесконечно малой, т.е.

= 0.

Пример 6.15. (неопределенность вида ).

Решение. Предлагаемую неопределенность раскроем с помощью второго замечательного предела:

=

Рассмотрим , где - бесконечно малая последовательность, т.к. .

Кроме того, , в результате

.

Изложим еще один вариант решения данной задачи:

Поскольку , то, опять же учитывая второй замечательный предел, получим, что искомый предел равен .

Пример 6.16. (неопределенность вида ).

Решение. Заметим, что , поэтому действительно имеет место неопределенность вида . Представим выражение

в виде .

Задача свелась к аналогичной той, что рассмотрена в примере 6.15:

= .

Поскольку , то искомый предел равен .

6.3. Задачи на вычисление предела функции

Кроме нижеследующих примеров см. также примеры 2.13-2.18 и 2.24.

При вычислении пределов часто приходится пользоваться следующей таблицей эквивалентности бесконечно малых функций (при ):

; ; ;

; ; ;

; , где – константа ;

; , где (любая константа).

Пример 6.17. (неопределенность вида ).

Решение. Разложим числитель и знаменатель на простые множители. Поскольку корнями уравнения являются и , то

.

Пример 6.18. .

Решение. Заметим, что при числитель заданного выражения стремится к значению , а знаменатель – к нулю, поэтому искомый предел равен бесконечности. Строгое обоснование этого утверждения может быть, например, таким. Поскольку при функция является бесконечно малой, то заданная функция является бесконечно большой.

Пример 6.19. (неопределенность вида ).

Решение.

.

Пример 6.20. (неопределенность вида ).

Решение.

Пример 6.21. (неопределенность вида ).

Решение. Поскольку при , , то

.

Пример 6.22. (неопределенность вида ).

Решение.

Здесь использовано то, что при и при этом

(первый замечательный предел).

Пример 6.23. (неопределенность вида ).

Решение. Заметим, что при сумма бесконечно малых, стоящая в числителе, эквивалентна (бесконечно малой самого низкого порядка), а сумма бесконечно малых в знаменателе – функции , при этом . Таким образом, искомый предел равен: .

Пример 6.24. (неопределенность вида ).

Решение. Введем новую переменную , тогда

Поскольку при , т.е. при , то

.

Пример 6.25. (особенность вида ).

Решение.

.

Здесь было использовано соотношение эквивалентности бесконечно малых

при , поскольку при этом .

Пример 6.26. (особенность вида ).

Решение.

Заметим, что (здесь обозначено ), кроме того, учитывая первый замечательный предел, получим

. В результате искомый предел равен .

6.4. Исследование функции на непрерывность

В задании требуется найти все точки разрыва функции (если они есть), указать их тип и построить эскиз графика функции в окрестности каждой из этих точек. Кроме примеров данного раздела см. также примеры 3.1-3.7.

Пример 6.27. Исследовать на непрерывность функцию .

Решение. Заданная элементарная функция определена на множестве , таким образом, она заведомо непрерывна во всех точках этого множества, а ее точкой разрыва является .

Поскольку ; , то в точке заданная функция имеет разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв). Эскиз графика в окрестности точки представлен на рис. 6.8.

Решение. Область определения заданной элементарной функции представляет собой множество , а значит, она непрерывна во всех точках этого множества и имеет точку разрыва . Выполняются равенства: , но при этом не существует, поэтому в точке заданная функция имеет разрыв 1-го рода, причем устранимый (эскиз графика в окрестности точки изображен на рис. 6.9).

Заметим, что если доопределить заданную функцию в точке , приняв , то соответствующая новая функция будет непрерывной всюду на числовой оси.

Пример 6.29. Исследовать на непрерывность .

Решение. Согласно определению модуля, получим если и если , поэтому заданную функцию можно записать так:

в точке же не определена.

При является непрерывной, т.к. – непрерывная функция, при также непрерывна.

Характер разрыва в точке установим, вычислив, соответствующий правый и левый пределы:

,

.

Оба они существуют (при этом различны), поэтому в точке имеет разрыв 1-го рода, не являющийся устранимым. Эскиз графика в окрестности точки разрыва изображен на рис. 6.10.

Пример 6.30. Исследовать на непрерывность .

Решение. Заданная элементарная функция определена на числовой прямой всюду, кроме точек, в которых ее знаменатель обращается в ноль, т.е. , , . Таким образом, точками разрыва заведомо являются …

Установим характер разрыва при . Поскольку при , то , т.е. - точка разрыва первого рода, причем устранимого.

Установим характер разрыва при , … Поскольку , причем для , то

, .

Итак, имеет бесконечное множество точек разрыва 2-го рода , … и одну точку устранимого разрыва 1-го рода ; эскиз графика в окрестностях этих точек изображен на рис. 6.11

Пример 6.31. Исследовать на непрерывность

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, причем она заведомо непрерывна в любой точке . Посмотрим, есть ли разрыв в точке .

,

.

Здесь учтено, что при , т.е. при . По условию задачи , поэтому можно записать, что и, следовательно, непрерывна в точке (а, значит, и на всей числовой оси).

6.5. Найти производные функций

Кроме примеров данного раздела см. также примеры 4.4, 4.6 – 4.9.

Пример 6.32. Найти первую и вторую производные функции .

Решение. Заметим, что данная функция является сложной, причем можно записать: . Далее, используя известное свойство логарифма, преобразуем функцию к виду , после чего, согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

.

Следует заметить, что если не использовать вышеуказанное свойство логарифма, то выкладки будут несколько длиннее:

.

Вычислим вторую производную:

Пример 6.33. Найти производную функции, заданной параметрически: - константы.

Решение.

Пример 6.34. Найти производную функции, заданной неявно: .

Решение. Перепишем заданное соотношение в виде Далее приравняем нулю производную по левой части этого соотношения, вычисленную как производную сложной функции:

; ;

.

Из последнего уравнения выразим через и :

; ;

6.6. Задачи на вычисление пределов функций с использованием правила Лопиталя

Кроме примеров данного раздела см. также примеры 4.9 – 4.13.

Пример 6.35. (неопределенность вида ).

Решение. .

Пример 6.36. (неопределенность вида ).

Решение.

Пример 6.37. (неопределенность вида ).

Решение.

.

Пример 6.38. (неопределенность вида ).

Решение. Поскольку , то .

Последнее равенство справедливо в силу непрерывности экспоненциальной функции.

Рассмотрим:

Поскольку при , то

, в результате чего искомый предел равен .

Пример 6.39. (неопределенность вида ).,

Решение. Так как , то

.

Согласно правилу Лопиталя

,

поэтому искомый предел равен .

6.7. Исследование поведения функций с помощью производных

Кроме примеров данного раздела см. также примеры 5.1 – 5.12.

Пример 6.40. Найти области убывания и возрастания функции , а также исследовать ее на экстремум.

Решение. Данная функция определена (и является непрерывной) на всей числовой оси, за исключением точки , в которой она имеет разрыв 2-го рода. Найдем производную

.

Критической точкой, в которой , является . Для исследования знаков применим метод интервалов. На рис. 6.12 указан знак производной на каждом из интервалов ее знакопостоянства. Там же указан характер монотонности заданной функции , соответствующий знаку .

Таким образом, при монотонно возрастает; при убывает; при возрастает. В точке имеет экстремум (минимум), причем

.

Подчеркнем, что в точке не имеет экстремума, а имеет разрыв 2-го рода.

Пример 6.41. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Заметим, что заданная функция непрерывна на всей числовой оси, а, значит, и на отрезке . Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке либо в критических точках, либо на концах отрезка. Найдем критические точки из условия .

, откуда получим . Корнями этого уравнения являются , - критические точки . Вычислим и сравним между собой значения , , , : ;

;

; .

Таким образом, на отрезке достигает наибольшего значения, равного , в двух точках и и достигает наименьшего значения, равного , также в двух точках и .

Пример 6.42. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции .

Решение. Заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем ее вторую производную : ,

При график выпуклый вниз; при - выпуклый вверх; при - выпуклый вниз. Имеются две точки перегиба графика: и , где , , а ординаты , находятся из соотношений:

; ,

т.е. ; .

Заметим, что график симметричен относительно оси , поскольку эта функция четная, т.е. .

Пример 6.43. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Вертикальной асимптотой является прямая , поскольку при . Правую наклонную асимптоту найдем из соотношений:

,

,

таким образом, - правая наклонная асимптота.

Левая наклонная асимптота находится аналогично: , , т.е. правая наклонная асимптота является одновременно и левой наклонной асимптотой.

Пример 6.44. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1. Областью определения функции является множество . Функция является четной, т.е. и ее график симметричен относительно оси . Функция терпит разрыв 2-го рода в точках .

2. Вертикальными асимптотами графика являются прямые и . Правая наклонная асимптота определяется из условий:

,

т.е. правой наклонной асимптотой является горизонтальная прямая , которая в силу симметрии графика, является также и левой наклонной асимптотой.

3. Для исследования монотонности и экстремумов найдем :

. Знаки и характер монотонности на соответствующих интервалах указаны на рис. 6.14.

Функция имеет экстремум (максимум) в точке , причем

.

4. Для исследования направления выпуклости графика рассмотрим :

.

Знаки и направление выпуклости графика на соответствующих интервалах указаны на рис. 6.15.

Заметим, что точки перегиба графика отсутствуют, поскольку при функция не определена (имеет разрыв 2-го рода). График изображен на рис. 6.16.

Пример 6.45. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1. Областью определения функции является множество ; функция является нечетной ( ) и терпит разрыв 2-го рода в точке .

2. Вертикальной асимптотой графика является ось . Правая наклонная асимптота определяется из условий:

,

,

т.е. правой наклонной асимптотой является прямая . Легко видеть, что эта прямая является также и левой асимптотой (при ).

3. Для исследования монотонности и экстремумов найдем . Проделав соответствующие выкладки, получим:

при любом , т.е. при монотонно возрастает и при также монотонно возрастает. Ясно, что экстремумы отсутствуют.

4. Для определения направления выпуклости графика рассмотрим :

.

При выполняется неравенство , т.е. график выпуклый вверх; при выполняется , т.е. график выпуклый вниз, при этом точки перегиба отсутствуют, поскольку при функция не определена (имеет место разрыв 2-го рода).

5. Точки пересечения графика с осью найдем из соотношения , т.е. , откуда . График изображен на рис. 6.17.