Тема 1 . Исследование функций .

Глава 5. Исследование функций и построение её графика.

Одной из простейших операций исследования поведения функции является исследование

функции на монотонность.

Определение 1.1.Функция , заданная на интервале ,называетсявозрастающейфункцией на этом интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть

(1.1)

Определение 1.2.Функция , заданная на интервале ,называетсяубывающейфункцией на этом интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть

(1.2)

Убывающие или возрастающие на интервалефункции называются монотонными функциями.

Если задан график функции, то по его виду легко определить возрастает функция или убывает.

Если двигаться по графику слева направо, то у возрастающей функции график поднимается вверх (рис.1а), а у убывающей функции график опускается вниз (рис.1б).

рис.1а. рис.1б.

На рисунках 1а.,1б приведены графики монотонных функций. Рассмотрим график, предложенный

на рис.2

рис.2

Функция не является монотонной на всем множестве. Но на интервале она убывает. На интервале она возрастает. И наконец, на интервале она убывает. Итак, если задан график, то несложно определить интервалы, где функция возрастает, а где убывает.

Возникает вопрос, как исследовать функцию на монотонность, если задана только формула, определяющая функцию. В случае, когда функция дифференцируема, это сделать легко.

Пусть на интервале задана дифференцируемая функция . Геометрически это означает, что в каждой точке график функции имеет касательную. Наклон касательной, как мы уже знаем, зависит от знака производной в точке касания. Если производная больше нуля, то угол наклона касательной острый, если производная меньше нуля угол наклона касательной тупой.

Теорема 1.1.Пусть функцияопределена и непрерывна на , дифференцируема

на и если:

1)

(1.3)

2)

Доказательство. Докажем пункт 1). Как всегда берём любую пару из . Нужно доказать, что . На отрезке выполнены все условия теоремы о среднем Лагранжа. Запишем формулу Лагранжа для этого случая

(1.4)

Так как

По определению 1.1 это означает, что функция возрастает.

Пункт 1) Теоремы 1.1 доказан. Доказательство пункта 2) предоставляем читателю.