Точечные оценки параметров предполагаемого закона распределения случайных величин методом максимального правдоподобия

В статистике существует два вида оценок: точечные и интервальные. Точечная оценка представляет собой отдельную выборочную статистику, которая используется для оценки параметра генеральной совокупности(См.[8]).

По гистограмме можно определить, что курс рубля имеет нормальное распределение, поэтому описывается параметрами a и σ.

Популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных, и обеспечения оценки параметров модели, является метод максимального правдоподобия. Метод максимального правдоподобия точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров. Метод максимального правдоподобия применим для оценки параметров. Найдем параметры a и σ нормального распределения:

, (2.8)

если в результате n испытаний величина X приняла значения x₁,x₂,..,x_n.

Составим функцию правдоподобия, учитывая, что q₁ = a, q₂ = s:

(2.9)

Отсюда . (2.10)

Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:

(2.11)

Найдем частные производные по a и по σ:

(2.12)

Приравняв частные производные нулю и решив полученную систему двух уравнений относительно a и , получим:

, a (2.13)

Итак, с помощью метода максимального правдоподобия выяснили, что параметр , а параметр . Заметим, что первая оценка несмещенная, а вторая смещенная.