Табличное деление

Другой пример – деление столбиком. Обычно в школе это действие сводится к многократному умножению. Если делится многозначное число на двузначное, то деление превращается в многократное перемножение двузначного числа на однозначные, чего нет в таблице умножения. Для «оптимизации» этой ситуации вводится (в отдельных вариантах программы для начальной школы) «примерное деление», которое позволяет сузить набор чисел, на которые умножается двузначное. На самом деле математика уже решила эту проблему и совершенно иначе. Вспомним таблицы Брадиса. Ее использование порождает процедуру табличного деления. Но в этом случае возникает возможность создания креативной ситуации для ученика, когда он в состоянии открыть закономерности и метод самостоятельно.

Итак, следует дать пример как можно более сложный, например:

1 234 567 898 123 456 789 123 456 789 : 17 =

Отметим, что чем длиннее делимое, тем больше вероятность открытия табличного деления. Можно давать ребенку несколько примеров, и чтобы все делились на 17. В конце концов ученик открывает, что эти примеры проще решать, сделав таблицу умножения на 17:

17×1 = 17, 17×2 = 34, 17×3 = 51, 17×4 = 68,

17×5 = 85, 17×6 = 102, 17×7 = 119, 17×8 = 136,

17×9 = 153

Деление после этого перестает быть многократным умножением, становится легким и понятным, и проблем в дальнейшем с ним не возникает, зато открывается система стимуляции для ученика. Ученики могут в качестве домашнего задания делать примеры для всего класса для определенного набора двузначных чисел. Есть требования по подбору чисел (например, принцип минимального повторения цифр в примере). Так, ученик получает задание сделать по 20 примеров десятизначных чисел, делящихся на два двухзначных, пусть 11 и 17. Составление примера осуществляется по такому алгоритму: нужно подобрать 10 цифр и делить их на 11 и 17, после чего отнять от исходного примера остаток от деления или прибавить недостающее. Таким образом, ученик готовит примеры для других. А работа остальных по решению данных примеров может интерпретироваться как проверка этих примеров всем классом.

Для оптимизации навыка табличного деления ученик после открытия способа составления таблиц для одного, двух двузначных чисел, получает сокращенную таблицу для деления на двузначные числа. Затем распечатывается аналогичная таблица для дву- и трехзначных. Они отличаются от таблиц Брадиса тем, что сокращены объяснения. Тут умножение на 1 одновременно название строки, и таблицы помещаются на один печатный лист (10-го кегля). По крайней мере, на один с двух оборотов (14-го кегля), в этом случае лучше делить таблицу пополам. До 50 с одной стороны, с 51 до 99 с другой. Усложнение отсылает ученика к таблице Брадиса. Но достаточно иметь таблицу трехзначных чисел. Некоторые ученики могут получить задание сконструировать такую таблицу. Они могут пользоваться наработками других по выпавших тем числам.

Пример табличного деления имеет двойной смысл: с одной стороны, он показывает, что ребенок получает возможность самостоятельно конструировать свое обучение, с другой – происходит демонстрация разделения навыка, когда оказывается, что само по себе деление, «очищенное» от многократного умножения, – просто. Наступает понимание у ученика, после которого возможен и возврат в обычную методику.

Важный вывод из демонстрации поразрядного умножения и табличного деления состоит в том, что разделение и соединение навыков возможно, во-первых, самостоятельно, во-вторых, иначе, более оптимально как по отношению к организации материала, так и по отношению к организации действий ученика. Еще один вывод состоит в том, что математика – это нечто парадоксальное. Так, чем сложнее пример, тем интереснее он и проще решается, тем больше творчества требует. Освоение материала по вычислению проще для ребенка в том случае, если материал скомбинирован в сложнейшие, но однородные задания. Если примеры будут такими: четырехзначные числа делятся на двухзначные, и всегда разные, то ребенок не будет искать алгоритма табличного деления. Но после табличного деления он начинает искать как математик, и это следует поощрять.

Таблица квадратов

Демонстрацией сравнения стиля вычисления и математики является тест на заполнение таблицы квадратов.

Таблица № 1.

В таблице по вертикали единицы, по горизонтали десятки. На пересечении нужно поставить квадрат получаемого числа.

Задание – заполнить таблицу квадратов до 100.

Суть теста. У человека с высшим техническим образованием на заполнение такой таблицы без применения калькулятора уходит около 40 мин. Это если квадраты получаются перемножением. Однако в таблице так много закономерностей, что математический ум найдет способ заполнить таблицу без перемножения гораздо быстрее. Для примера: заполнение такой таблицы во второй раз, т. е. со знанием закономерностей, требует у ученика 3-го класса 5 мин.

Следовательно, для человека, заполняющего таблицу путем вычисления или перемножением уходит больше времени, чем у человека, походящего к решению со стороны поиска закономерностей или с математическим стилем мышления.

Закономерность достаточна простая, более того, таких закономерностей не менее десятка, и все они ускоряют заполнение, но покажем самые эффективные шаги, с помощью которых таблица заполняется максимум за 2 мин. Во-первых, в столбиках единицы у квадратов сохраняются, так что их можно переносить вниз (2 × 2 = 4, 12 × 12 = 144, 22 × 22 = **4, 32 × 32 = **4 и т. д.), и остается подсчитывать только десятки. Более того, в столбике с единицами 5 сохраняется две цифры. Все квадраты оканчиваются на 25, а 0 дает 00. Эти столбики можно использовать для проверки. Отметим, что в первоначальной таблице показаны две строки квадратов, которых уже достаточно, чтобы закономерность выявить и проверить.

Первым шагом закономерности является переделанная формула квадрата суммы: (A+1)² = А² + (А) + (А+1), т. е. квадрат следующего числа, после известного, будет равен квадрату предыдущего, плюс сумма самих чисел, предыдущего и последующего. Так, чтобы получить квадрат 31, зная квадрат 30, надо к квадрату 30 (900), прибавить 30 и 31, и получится 961.

На основе этой формулы можно выявить, как нарастают десятки. В самом деле, число прибавляемых десятков зависит от двух параметров. Во-первых, от строки, 2 + 2 = 4, а 3 + 3 = 6, и это легко, во-вторых от суммы единиц: если складываются числа 1 и 2, 2 и 3, то прибавляется удвоенное число знаменателя строки, или величины десятка: если складываются 3 и 4, 4 и 5, 5 и 6, 6 и 7, то к удвоенному десятку надо прибавить еще один десяток, для остальных случаев прибавляется к удвоенному десятку два десятка.

Эта закономерность в двух заполненных строках уже имеется. При переходе от 0 к 1 прибавляется 0 десятков, от 1 к 2 – 0, и т. д., получается:

Таким образом, в рамках одной строки, т. е. десятка, прибавляется три варианта: 0 до 3-й единицы, 1 от 4-й до 7-й единицы и далее 2. Во второй строке соответственно 2, 3, 4. Эту закономерность можно продолжить, каждый раз нужно прибавлять на два десятка по вертикали и сохранять последовательность по горизонтали: на один десяток больше прежней суммы, при переходе от 3 к 4 и от 7 к 8. Между 3‑4 и 7‑8 переходами прибавляется нечетное число десятков, т. е. четыре раза, а в остальных случаях – прибавляется четное число десятков – остальные шесть столбцов.

Таблица № 2

Это можно проверить:

10 + 11 = 21, 11 + 12 = 23, 12 + 13 = 25, затем 13 + 14 = 27, 14 + 15 = 29, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, 6, то прибавляется еще один десяток.

Далее: 15 + 16 = 31, 16 + 17 = 33, а затем в случае 17 + 18 = 35, 18 + 19 = 37 и 19 + 20 имеем 39, но так как прибавление идет к числу с единицами 9, а потом 4 и потом 1, то остается прибавлять на десяток больше, за счет этого прибавление четных десятков чаще, чем нечетных.

Итак, полученная закономерность реализуется так. 21 в квадрате получаем так: к 40 десяткам прибавляем 4 и в разряд единиц переносим 1, получаем 441, для 22 аналогично, к 44 прибавляем 4 и переносим в единицы 4 = 484, для 23 к 48 прибавляем 4 десятка и переносим 9 = 529, для 24 – к 52 прибавляем уже 5 десятков и переносим в единицы 6 = 576, для 25 к 57 прибавляем 5 и переносим 5 = 625 и т. д.

Складывая десятки и дописывая единицы, мы получаем максимально эффективный алгоритм заполнения таблицы квадратов. Подобного типа закономерность будет искать математик, и первоначально он отстанет от вычислителя, но потом заполнение будет ускоряться, а у вычислителя перемножение останется единственным алгоритмом, и числа становятся больше, поэтому будет происходить замедление вычисления.