Расчет двухуровневого дерева решений

Рассмотрим ситуацию более сложную, чем в предыдущем примере.

Пример 4-5. Банк решает вопрос, проверять ли конкурентоспособность клиента перед тем, как выдавать заем. Аудиторская фирма берет с банка 80 ф. ст. за каждую проверку. В результате этого перед банком встают две проблемы:

первая – проводить или нет проверку,

вторая – выдавать после этого заем или нет.

Решая первую проблему, банк проверяет правильность выдаваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются 1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии выдавались ссуды (табл.4-8).

Таблица 4-8. Рекомендации аудиторской фирмы и возврат ссуды

Какое решение должен принять банк?

Решение.

Этап 1. Построим дерево решений, как показано на рисунке 4-3. Вероятности проставляются по данным этапа 2.

Этап 2. Используя данные табл. 10, вычислим вероятность каждого исхода:

Р (клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7,35/750 = 0,98;

Р (клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 = 0,02;

Р (клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 = 0,9;

Р (клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)= 25/250= 0,1.

Этап 3. На этом этапе слева направо проставим денежные исходы каждого из узлов, используя конечные результаты, вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем из ожидаемых доходов. Таким образом, подсчитываем все дерево, опираясь на ранее полученные результаты. После того, как пройдены квадратные узлы решений, выбирается ветвь, ведущая к наибольшему из возможных при данном решении ожидаемому доходу. Другая ветвь зачеркивается, а ожидаемый доход проставляется над квадратом решения.

Сначала посмотрим на круглые узлы исходов В и С, являющиеся следствием решения 2 (выдавать ли заем клиенту?)

Доход, ожидаемый от исхода В:

Е (В) = 17250 ф.ст.×0,98 + 0×0,02 = 16905 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход:

NE (В) = 16905 - 15000 = 1905 ф. ст.

Доход, ожидаемый от исхода С:

Е (С) = 16350 ф. ст. ×1,0 = 16350 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход:

NE (С) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

Приняв решение, корректируем дерево, проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф.ст. над квадратом 2. Ветвь «не давать заем» зачеркивается, как это показано на рис. 4.4.

То же самое с кружками исходов D и Е – результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

Е (D) = (17250 ф.ст. ×0,9) + (0×0,1) = 15525 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход:

NE (D) = 15525 - 15000 = 525 ф. ст

Аналогично для исхода Е:

Е (Е) = 16350 ф.ст. ×1,0 = 16350 ф. ст.,

чистый ожидаемый доход:

NE (Е) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение не выдавать заем.

Наконец приступаем к расчету узлов исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

Е (F) = 17250 ф.ст. ×0,96 + 0×0,04 = 16560 ф. ст.;

NE (F) = 16560 - 15000 = 1560 ф. ст.;

Е (G) = 16350×1,0 = 16350 ф. ст.;

NE (G) = 16350 - 15000 = 1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная ветвь перечеркивается.

Теперь вернемся к узлам А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:

Е (А) = (1905 ф.ст. ×0,75) + (1350 ф.ст. × 0,25) = 1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход:

NE (А) = 1766 - 80 = 1686 ф. ст.

Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом узле максимальное математическое ожидание – 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную ветвь.

На рис.3.4 стрелками показана последовательность решений, ведущая к макси-ильному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача займа рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 – выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 – не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9% годовых. Дерево окончательных решений для рассмотренного примера приведено на рис. 4.4.

Пример 4.6. Фирма "Tranda pic", занимающаяся исследованием рынка, рассчитывает расширить свою деятельность, снабдив персональными компьютерами персонал, занимающийся сбором данных. Проблема состоит в том, покупать ли компьютеры или арендовать. Предсказать рост масштабов деятельности фирмы ближайшие четыре года нельзя, но возможно разделить его на значительный, средний и незначительный. Вероятность значительного роста масштаба деятель­ности в первый год после установки компьютеров составляет 0,6; среднего и незначительного – 0,3 и 0,1 соответственно. В последующие три года рост может оцениваться как значительный и незначительный. Подсчитано, что если рост значительный в первый год, то вероятность того, что он останется таким же в последующие три года, равна 0,75. Средний рост первого года изменится на незначительный в последующие годы с вероятностью 0,5. А незначительный таким же и останется с вероятностью 0,9. Чистые наличные доходы, вызванные этими изменениями, приведены в табл. 3.25.

Стоимость компьютеров — 35000 ф. ст. Условия аренды: первоначальный взнос — 15000 ф. ст. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года. Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

Таблица 4.9. Доходы наличности

Для того чтобы решить, должка ли фирма покупать или арендовать компьютеры, воспользуемся деревом решений. Критерием принятия решения является максимизация ожидаемой чистой выручки с учетом 12%-ного приращения капитала в год.