Построим интервальную оценку для математического ожидания, учитывая, что ранее для нее была получена точечная оценка XB .

В предположении, что исследуемая генеральная совокупность нормально распределена, то есть, Х = N(a, ), мы решим задачи о построении интервальной оценки (считая, что объем выборки невелик).

Задача 1. Пусть объем выборки мал, а известна из каких-либо соображений. Требуется построить доверительный интервал с надежностью .

Решение. Преобразовав соотношение (1) получим

(2)

В математической статистике доказана теорема: если Х = N (a, σ), то случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 0, = 1, т.е. = N(0, 1). Для случайной величины N(0, 1) составлены подробные таблицы вероятностей, с которыми ее значения попадают в те или иные интервалы. Известно, что Р({ 0 < N(0, 1) < х}) = Ф(х), где Ф(х) = – интегральная функция Лапласа. Следовательно, с использованием симметрии Р({|N(0, 1)|< х}) = Р({0 < N(0,1) < х}) + Р({ –x < N(0, 1) < 0}) = 2∙ Р({0 < N(0, 1) < х}) = 2∙Ф(х). Теперь из (2) следует, что

= 2∙Ф( ).

Используя обратную функцию для Ф(х), получаем

= Ф^–1( /2).

Таким образом, доверительный интервал, в котором должна содержаться оцениваемая величина , построен: .

Следует учитывать, что границы этого интервала носят случайный характер и зависят от конкретных выборочных данных, от выборки. Поэтому корректнее говорить, что с вероятностью точное теоретическое значение математического ожидания накрывается построенным доверительным интервалом.

Вероятность ошибки равна 1– .

Задача 2. Пусть объем выборки мал, но информации о числовых значениях параметров исследуемой нормальной генеральной совокупности нет. Построить доверительный интервал с надежностью .

Решение. Из соотношения (1), аналогично задаче 1,следует:

(3)

где является точечной несмещенной оценкой по выборке для неизвестной . Здесь мы приходим к более сложной случайной величине = , распределенной по закону Стьюдента (Т-распределение) с n -1 степенью свободы.. Теперь из (3) следует, что

= Р({ }) = Р({ }) = = Р({ }) =
= .

– функция распределения случайной величины .

Отсюда , следовательно, = .

Таким образом, доверительный интервал, который должен содержать внутри себя оцениваемую величину M(x), при неизвестной построен:

.