Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Теорема Коши




Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную :

.

Из условия следует, что

и ,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Правило Лапиталя-Бернули (раскрытие неопределенностей вида ∞/∞ и 0/0)

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 и ∞/∞. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞/∞ используется следующий алгоритм:

Выявление старшей степени переменной;

Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм:
Разложение на множители числителя и знаменателя;
Сокращение дроби.

Неопределенности типа

Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что

В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю.
Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя.
Неопределенности типа

Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством

где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени.

 

Неопределенности типа

Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Раскрытие неопределенностей вида 0 ∙ ∞; ∞-∞; 00; 1; ∞0

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки. Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть и

 

Формула Тейлора n-ого порядка, (теорема)

Формула Маклорена n-ого порядка, (теорема)

Формула Маклорена n-ого порядка для функций вида: sinx, cosx, ex; ln(1+x); (1+x)α; 1/(1+x); 1/(1-x)

Возрастание и убывание функции, (определение; необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) функции на некотором промежутке)

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.
Эти условия являются достаточными условиями возрастания (убывания функции).
Постараемся понять, почему так происходит (строгое доказательство рассматривается в программе высших учебных заведений). Известно, что геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной. Значит, если производная положительна, то угол будет острым.


И получается, что график идет «в гору». Если производная отрицательна, то угол наклона будет тупым и получается, что график идет «под гору».

Промежутки возрастания и убывания называют промежутками монотонности функции.
Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами, значение функции f(x0) самое большое в некоторой окрестности точки x0.
Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует положительное число E, такое, что для любой точки x из промежутка , выполняется неравенство . Иными словами значение функции f(x0) самое маленькое в некоторой окрестности точки x0.
На следующем графике точки -9 и 3 являются точками максимума, а точка -2 является точкой минимума.

Точки максимума или минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия существования экстремума (по первой производной)

Теорема Ферма: Если x0 - точка экстремума непрерывной функции f(x), то f'(x0)=0.
Геометрически это выглядит так: в точке экстремума касательная параллельна оси ОХ и, поэтому угол наклона равен 0.

Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума.Достаточное условие экстремума: Если при переходе через стационарную точку производная меняет знак, то эта точка является экстремумом. Если меняет знак с «+» на «-», то это точка максимума. Если меняет знак с «-» на «+», то это точка минимума.
Если при переходе через стационарную точку производная не меняет знак, то эта точка не является экстремумом.


Поделиться:

Дата добавления: 2015-04-18; просмотров: 138; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты