Квадратичная интерполяция.

Пусть снова дана функция f(x), заданная таблично. Считая, что на промежутке (x_k, x_k+2) данную функцию с достаточной степенью точности можно заменить квадратичной функцией, то есть часть графика функции можно заменить параболой (см. рис. 3), необходимо найти значение функции f(x) в некоторой точке x, принадлежащей интервалу (x_k, x_k+2).

Рис. 3

Будем искать квадратичную функцию в следующем виде: .

Исходя из условия совпадения значений искомой квадратичной функции с табличными значениями функции в трех заданных точках, составим следующую систему уравнений:

Это система трех линейных уравнений с тремя неизвестными a, b и с. Ее определитель не равен 0 (если только точки не лежат на одной прямой). Решая составленную систему уравнений матричным способом, получим следующую зависимость для коэффициентов а, b и с:

Таким образом значение функции f(х) в точке х можно приближенно считать равным

Естественно поставить вопрос о погрешности полученной формулы.

Рассмотрим разность между точным значением функции f(х) и ее приближенным значением. Обозначим эту разность через (х):

(х)= f(х)-ax²-bx-c.

Мы подошли к задаче об оценке значений функции j (х) для х, пробегающих промежуток (х_к, х_к+2).

В рассматриваемом случае нам придется предполагать, что третья производная функции f(х) на рассматриваемом промежутке непрерывна и удовлетворяет неравенству [27]:

.

Тогда для (х) справедлива следующая оценка: