Структурні середні, їх суть та особливості обчислення

Поняття Ме легко з'ясувати на такому простому прикладі: нехай є група студентів з семи чоловік.

Необхідно охарактеризувати структуру даної сукупності за ознакою віку, якщо він варіює таким чином:

18 19 17 20 18 24 21.

Це можна зробити таким чином: визначити середній вік студента як середню арифметичну і подивитися структуру сукупності відносно середньої.

Тобто, подивитися скільки чоловік мають вік менше середньої по групі і скільки більше:

роки.

Але можна зробити це і за допомогою медіани, визначивши її значення.

Щоб визначити медіану необхідно:

1) на основі даної сукупності побудувати ранжируваний ряд і пронумерувати його члени;

2) якщо число членів ряду непарне – додати до цього числа одиницю і розділити на 2, тобто .

В результаті одержимо порядковий номер члена ряду із значенням ознаки, що дорівнює медіані.

3) якщо ж число членів ряду парне, то медіану визначають як середню арифметичну з 2 центральних елементів ряду.

В нашому ПРИКЛАДІ:

Ме

Вік				19
Порядковий № за віком

№ Ме . Цьому порядковому номеру відповідає значення ознаки, що дорівнює 19.

Отже, значення Ме для даної сукупності дорівнюють 19 років.

Дійсно, це центральний елемент ранжируваного ряду, оскільки він ділить сукупність на дві рівні частини: зліва від нього три студенти молодше 19 років, а справа три студенти старше 19 років.

Наведений приклад визначення Ме належить до незгрупованих даних.

Практично ж Ме визначають, як правило, для сукупностей, поданих у вигляді дискретного або інтервального ряду.

В цих випадках використовують накопичені частоти.

Під накопиченими частотамирозуміють наростаючий підсумок послідовного підсумовування частот, починаючи з першого варіанта або першого інтервалу.

Для дискретних рядів Ме визначається без особливих розрахунків в наступній послідовності:

1) знаходять порядковий номер медіани у сукупності, як напівсуму частот;

2) будується стовпчик кумулятивних частот;

3) перша із кумулятивних частот, яка перевищує номер медіани або дорівнює йому, укаже на значення медіани у стовпчику варіантів.

ПРИКЛАД, Нехай є розподіл міст за кількістю заводів в них. Визначимо Ме.

1) Знайдемо номер Ме = 12: 2 = 6.

2) За накопиченими частотами бачимо, що накопиченим частотам, починаючи зі значення 6 (після 5) і по 9 включно, відповідає значення варіанта, що дорівнює 3. Отже, Ме= 3.

Висновок: значення медіани показує, що у половині міст більше, ніж 3 заводи, а у половині – менше, ніж 3 заводи.

Для інтервальних рядівпорядок знаходження Ме наступний:

1) Знаходять номер Ме, як півсуму частот.

2) За кумулятивними частотами визначається медіанний інтервал, тобто інтервал, в якому знаходиться Ме .

3) За формулою визначається медіана

,

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– величина медіанного інтервалу;

– порядковий номер Ме ;

– накопичена частота домедіанного інтервалу;

– частота медіанного інтервалу.

Для ясності розглянемо такий ПРИКЛАД: Нехай є дані про розподіл сільських населених пунктів сіл Сумського району за кількістю мешканців у них. Величина середньої арифметичної буде в цьому випадку менш точним показником, ніж Ме .

чол

1) Визначаємо порядковий номер № Ме = 100 : 2 = 50.

2) За накопиченими частотами бачимо, що 50 номер елемента ряду знаходиться в інтервалі 200 – 300.

3) За формулою:

(чол.).

Отже, можна зробити висновок:

– у половині сіл району проживають менше 287 чоловік, а в половині - більше 287 чоловік.