Теорема 6.2. Плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор , задаётся уравнением

Глава II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

ЗАНЯТИЕ 6.

ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Чтобы зафиксировать плоскость в пространстве ОХУZ достаточно задать точку на ней и ненулевой вектор перпендикулярный плоскости. При выводе уравнения плоскости мы пользуемся следующим определением.

Определение 6.1. Вектор назовём вектором перпендикулярным плоскости, если он перпендикулярен любому вектору, лежащему на этой плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором к данной плоскости.

Теорема 6.1. Для того, чтобы вектор был перпендикулярен заданной плоскости достаточно, чтобы он был перпендикулярен двум любым неколлинеарным векторам, лежащим на, той же плоскости.

Точка принадлежит плоскости, тогда и только тогда, если координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости.

Приступим к выводу уравнения плоскости. Сформулируем конечный результат.

Теорема 6.2. Плоскость, проходящая через точку и имеющая нормальный вектор , задаётся уравнением

(6.1)

Доказательство. Нужно проверить, что если точка принадлежит нашей плоскости , то справедливо равенство . Так как точки принадлежат плоскости, то вектор лежит на плоскости и по условию теоремы 2 он перпендикулярен нормальному вектору . Следовательно скалярное произведение равно нулю

Рис.1

Отсюда и следует формула (6.1).

Пример 6. 1. Написать уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Решение. Согласно теореме 6.2 уравнение искомой плоскости задаётся формулой (6.1) .Подставляя в неё данные задачи , получаем ответ: .

Таким образом если требуется найти уравнение плоскости, то из данных задачи нужно найти точку, через которую про ходит плоскость и любой вектор нормальный к данной плоскости .

Пример 6.2. Написать уравнение плоскости проходящей через точку и параллельную векторам .

Решение. Для написания уравнения плоскости не хватает задания вектора нормального к плоскости. Векторы параллельные плоскости можно расположить на плоскости. Вектор , перпендикулярный векторам будет на основании теоремы 6.1 вектором нормальным к плоскости. Поэтому вектор можно определить как векторное произведение векторов

Отсюда по формуле (6.1) получаем искомое уравнение плоскости

Замечание. Если в формуле (6.1) раскрыть скобки, то уравнение плоскости принимает вид

(6.2)

Такое уравнение плоскости называют общим уравнением плоскости.

Пример 6.3. Переписать уравнение плоскости в общем виде.

Решение. Раскрывая скобки, получаем ответ .

Приведем простые правила

А. Параллельности двух плоскостей , имеющих нормальные векторы .

В. Перпендикулярности двух плоскостей , имеющих нормальные векторы .

С. Вычисления линейного угла между пересекающимися плоскостями , имеющих нормальные векторы .

правило А. Плоскости параллельны, если и только если векторы коллинеарные ( ). У коллинеарных векторов

координаты пропорциональны .

правило В. Плоскости перпендикулярны, если и только если векторы перпендикулярные ( ).

правило С. Линейный угол между плоскостями равен углу между них нормальными

векторами

(6.3)

Пример 6.4. Проверить взаимное расположение плоскостей

4) Вычислить угол между плоскостями 2) и 4).

Решение. Поскольку все критерии алгоритмов А,В,С используют нормальные вектора к плоскостям 1),2),3), то вычисляем эти нормальные вектора

-нормальный вектор к плоскости 1) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 2) равен ;

- нормальный вектор к плоскости 2) равен .

Отсюда :

согласно правилу А:

согласно правилу В: .

Вычислим угол между плоскостями 2) и 4)

Согласно формуле (6.3) получаем

Используя калькулятор, находим угол: .

Прямые линии в пространстве

Для того чтобы получить уравнение наклонной прямой на плоскости нам нужно было задать точку на прямой и наклон прямой к оси ОХ. Для того, чтобы получить аналогичное уравнение в пространстве необходимо задать точку на прямой и ненулевой вектор параллельный прямой. Наиболее простым способом задания прямой является параметрическое задание прямой. Способ задает систему уравнений, в которых координаты любой точки являются функциями параметра .

Теорема 6.3. Параметрические уравнения

(6.4)