Учебное занятие

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой - потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Рассмотрим экономико-математическую модель межотраслевого баланса (МОБ) – так называемую таблицу «затраты - выпуск».

Определение 1. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции.

В данном случае рассматривается система экономических объектов, которые выпускают некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта.

Итак, пусть отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое.

Обозначим объем продукции i-го предприятия через x_i (валовой выпуск продукции). Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабели, электрокары и т.д., употребляется практически всей отраслью.

Пусть a_ij - доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема x_j.

Возникает вопрос о величине y_i - количестве продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина может быть подсчитана по формуле:

(1)

Введем в рассмотрение матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

или с использованием единичной матрицы Е получаем:

(2)

Тогда решение системы (2) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

(3)

Здесь (E - A) ^-1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b _{i j} матрицы

(E - A) ^-1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x_i в виде функций планируемых значений y_j конечных продуктов отраслей:

.

Задача 1.

Отрасль состоит из 3-х предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

Найти количество продукции каждого предприятия, предназначенное для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта).

Решение.

Используя формулу (1) и правило сложения матриц, получаем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Ответ: объем конечного продукта каждого предприятия соответственно равен 110, 40, 60.

Задача 2.

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.

Необходимо вычислить объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохраниться на прежнем уровне.

Решение:

Имеем x₁=100, x₂=150, x₁₁=7, x₁₂=21, x₂₁=12, x₂₂=15, y₁=72, y₂=123.

По формуле находим коэффициенты прямых затрат:

a₁₁=0,07; a₁₂=0,14; a₂₁=0,12; a₂₂=0,1,

т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max{0,07+0,12;0,14+0,10}=max{0,19;0,24}= 0,24<1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле:

.

Найдем матрицу полных затрат :

Так как |E-A|=0,8202≠0, то отсюда следует:

По условию вектор конечного продукта Тогда получаем вектор валового выпуска:

Ответ: валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед., а машиностроительной – до 160,5 усл. ед.

Общая структура межотраслевого баланса представлена в таблице:

Баланс состоит из четырех разделов (квадрантов).

Первый квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь содержится информация о межотраслевых связях. Величина x_ij, находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины x_ij характеризуют межотраслевые поставки сырья, материалов, топлива и энергии, обусловленные производственной деятельностью.

В i-й строке величины x_i1, x_i2, ..., x_ij, ..., x_in описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей.

Величины x_1j, x_2j, ..., x_ij, ..., x_nj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива и энергии на производственные нужды.

Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального производства.

В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в некоторых фиксированных ценах. Поскольку в этом случае величины xij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

Величина представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

Сумма по столбцу характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца находится величина - так называемый промежуточный продукт экономики.

Второй раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта - (n+2)-й столбец. Величина yi - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону и т.д., а также сальдо экспорта и импорта.

Ко второму разделу относится также столбец валовых выпусков (Xi). В пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

((4)

Третий квадрант межотраслевого баланса отражает стоимостную структуру валового продукта отраслей. В (n+2)-й строке таблицы отражена условно чистая продукция (Vj), представляющая собой разницу между величиной валовой продукции отрасли и суммарными затратами отрасли:

((5)

Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.

Таким образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается на величины yi, характеризующие структуру потребления, то в третьем разделе величины Vj показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного продукта.

Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах этого курса рассматриваться не будет.

Задача 3.

Построить модель межотраслевого баланса для трехотраслевой экономической системы, для которой заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

,

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц:

Находим матрицу (E-A):

.

Вычисляем определитель этой матрицы:

.

Транспонируем матрицу (E-A):

.

Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (E-A)^T:

Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:

Чтобы найти матрицу коэффициентов полных материальных затрат, воспользуемся формулой матричной алгебры:

Получим:

Найдем величину валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

Итак, теперь определим квадранты материального межотраслевого баланса. Для получения первого столбца первого квадранта нужно элементы первого столбца заданной матрицы А умножить на величину Х₁=775.3; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂= 510.1; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃=729.6.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся как разность между объёмами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Наконец, четвертый квадрант в данном примере состоит из одного показателя и служит также для контроля правильности расчёта: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчёта представлены в таблице.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции.

Вывод: приведенные задачи показывают, что знание элементов линейной алгебры, умение оперировать с матрицами и обратными матрицами, умение решать системы линейных уравнений являются важными и позволяют решать реальные экономические задачи.

Задание.

Задача 2-1.

Отрасль состоит из 4-х предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

Найти количество продукции каждого предприятия, предназначенное для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта).

Задача 2-2.

Построить модель межотраслевого баланса для трехотраслевой экономической системы, для которой заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции: