Доверительный интервал. Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ежи Нейман, исходя из идей английского статистика Рональда Фишера

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа, при котором

Пример 166.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Решение. Требуется найти доверительный интервал

Все величины, кроме , известны. Найдем из

соотношения .

По таблице приложения находим и получаем доверительный интервал .

Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то для оценки служит доверительный интервал

где находится в приложении 4 по заданным и , а вместо часто бывает возможно подставить любую из оценок

- исправленное среднеквадратическое, статистическое среднеквадратическое отклонения соответственно. При увеличении обе оценки и будут различаться сколь угодно мало и будут сходиться по вероятностям к одной и той же величине .

Пример 167.Из генеральной совокупности извлечена выборка объема

= 50:

	-1

Оценить с надежностью математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней.

Решение. Выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам

Пользуясь таблицей приложения 4, по и находим .

Найдем искомый доверительный интервал:

подставляя , , , , получим .

Пример 168.Результаты исследования длительности оборота (в днях) оборотных средств торговых фирм города Ярославля представлены в группированном виде:

-	24 - 32	32 - 40	40 - 48	48 - 56	56 - 64	64 - 72	72 - 80

Построить доверительный интервал с надежностью для средней длительности оборотных средств торговых фирм города.

Решение. Найдем выборочную среднюю длительности оборотных средств.

Для упрощения вычисления исправленного среднеквадратического отклонения выберем приближенное значение . Тогда

В приложении 4 по и находим , а следовательно, и доверительный интервал

или .

Рассматривая независимых испытаний, можно оценить вероятность по относительной частоте.

Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю:

Решив полученное уравнение относительно , найдем критическую точку:

в которой производная отрицательна. Следовательно, - точка максимума и, значит, ее надо принять в качестве наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности биномиального распределения.

Тақырып: Статистикалық жорамалдарды тексеру теориясының негіздері.

Мақсаты: Статистикалық жорамалдарды тексеру теориясының негізгі принциптерімен және ұғымдарымен танысу. Нөлдік және балама жорамалдарды ұйғару, параметрлік критерийлерді дұрыс таңдау дағдыларын қалыптастыру. Параметрлік емес критерийлермен танысу. Параметрлік критерийлер мен келісім критерийлерін есептеу дағдыларын қалыптастыру.

Дәріс сұрақтары:

1. Жорамалдарды статистикалық тексеру міндеттері.

2. Статистикалық жорамал. Статистикалық критерий. Жорамалды тексерудің негізгі қағидасы.

3. Жорамалдарды тексеру әдістемесі.

4. Қалыпты таралған бас жиынтықтың параметрлері жөніндегі жорамалды тексеру. Стьюдент критерийі.

5. Параметрлік емес критерийлер және оларды қолдану.

6. Манн-Уитни критерийі.

7. Тәуелді таңдамалар критерийлері: Уилкоксон критерийі.

8. Колмогоров-Смирнов, Пирсонның Хи-квадрат критерийі.

Дәріс тезистері:

Медициналық зерттеулерде ағзаның қалыпты және патологиялық, емдеуге дейін және емдеуден кейінгі немесе әртүрлі емдеу әдістерін қолданған жағдайларындағы көрсеткіштерін салыстыру маңызды орын алады. Басқаша айтқанда, статистикалық жорамалдарды тексеру интуициялық медицинаның емес, дәлелді медицинаның негізгі құралы болып табылады.

Статистикалық есептерді қолданумен байланысты практикада жиі кездесетін есептердің бірі, берілген таңдама негізінде бас жиынтыққа қатысты айтылған қандай-да бір ұйғарымды қабылдау немесе жоққа шығару туралы сұраққа жауап беру болып табылады.

Статистикалық әдістерді қолданумен байланысты практикада жиі кездесетін есептердің бірі, берілген таңдама негізінде бас жиынтыққа қатысты айтылған қандай да бір ұйғарымды қабылдау немесе жоққа шығару туралы сұраққа жауап беру болып табылады.

Мылалы, жаңа дәрі адамдардың белгілі бір санында сыналды делік. Осы емдеу нәтижесі бойынша, жаңа дәрі бұдан бұрын қолданып келген емдеу әдісіне қарағанда тиімді деп дәлелді қорытынды жасауға бола ма?

Айтылған ұйғарымды (жорамалды) таңдама деректерімен салыстыру үрдісі жорамалдарды тексеру деп аталады.

Статистикалық жорамал – бұл таңдама көрсеткіштерінің негізінде тексеру болатын бас жиынтықтың таралу түрі жөніндегі немесе белгісіз параметрлерінің шамасы жөнінднгі ұйғарым.

Статистикалық жорамалдардың мысалы:

1. Бас жиынтық қалыпты таралған.

2. Қалыпты таралған екі жиынтықтың орта мәндері тең.

Түрі белгілі таралудың параметрлері жөніндегі статистикалық жорамалдар параметрлік жорамалдар, ал белгісіз таралудың түрі жөніндегі жорамалдар параметрлік емес жорамалдардеп аталады.

Статистикалық жорамалдар таңдама деректері негізінде статистикалық әдістермен тексеріледі. Жорамалдарды статистикалық тексеруге әртүрлі үрдістерді салыстыру және бағалау жатады: емдеудің тиімділігі, ауырудың және одан жазылу кезеңдерінің ұзақтығы, сырқаттың ауырлығы, емдеу әдістері.

Тексерілуге жататын негізгі жорамал нөлдік жорамал деп аталады және Н₀ арқылы белгіленеді.

Нөлдік жорамалмен бәсекелес, яғни оған қарама-қайшы келетін жорамал балама жорамал деп аталады және Н₁ арқылы белгіленеді.

Бір ғана ұйғарымнан тұратын жорамал жай, ал жай жорамалдардың шекті немесе шексіз санынан тұратын жорамал күрделі деп аталады.

Мысалы, Н₀: а=а₀ - жай,

Н₀: а>5 - күрделі.

Н₀ жорамалын қабылдау немесе жоққа шығару жөніндегі ереже статистикалық критерий деп аталадыназывается.

Жорамалды тексеру X₁,X₂,…,X_n таңдамаларының нәтижелері негізінде T_n=T(X₁,X₂,…,X_n ) таңдама функциясын құру арқылы жүзеге асады. T_n функциясын критерий статистикасы деп атайды.

Жорамалдарды тексерудің негізгі принципі:

T_n критерий статистикасының мүмкін мәндер жиыны екі қиылыспайтын ішкі жиындарға бөлінеді:

1) S сыни аймағы, яғни Н₀ жорамалын жоққа шығару аймағы,

2) жорамалды қабылдау аймағы.

Егер критерий статистикалық бақылау нәтижелері бойынша есептелген мәндері (T_бақ=T(X₁,X₂,…,X_n )) S сыни аймағына түссе, онда Н₀ жоққа шығарылады және Н₁қабылданады, егер Т_бақ аймағына түссе, онда Н₀ қабылданады, ал Н₁ жоққа шығарылады.

Статистикалық жорамалдарды қабылдау немесе жоққа шығару туралы шешім таңдама деректері бойынша қабылданады. Сондықтан, шешімнің қате болу мүмкіндігімен санасу қажет. Қателік екі текті болуы мүмкін.

Бірінші текті қателік - Н₀ жоққа шығару, негізінде ол дұрыс.

Екінші текті қателік - Н₀ қабылдау, негізінде ол дұрыс емес.

Бірінші текті қателікті жіберу ықтималдығы критерийдің мәнділік деңгейі деп аталады және a(альфа) арқылы белгіленеді.

Екінші текті қателікті жібермеу ықтималдығыкритерийдің қуаттылығы деп аталады және b(бета) арқылы белгіленеді.

Параметрлік критерийлер қалыпты таралған жиынтықтың параметрлері жөніндегі жорамалдарды тексеру үшін қолданады. Ең көп таралған параметрлік критерий - Стьюденттің t-критерийі. Тәуелді және тәуелсіз таңдамалар үшін сәйкес Стьюденттің жұптасқан және жұптаспаған критерийлері қолданылады.

Стьюдент критерийі медициналық-биологиялық зерттеулерге тән көлемдері аз таңдамалар үшін қолданылады.

Бас жиынтықтан алынған кейбір таңдамалардың таралу түрі белгісіз, алайда оның қандай-да бір түрі туралы айтуға болатындай жағдайлар жиі кездеседі.Мұндай жағдайларда нөлдік жорамал төмендегідей түрде ұйғарылады: Н₀ – бас жиынтық А заңы бойынша таралған.

Келісім критерийі – бұл түрі белгісіз таралудың ұйғарылған заңы жөніндегі жорамалды тексеру критерийі.Оның көмегімен эмпирикалық деректер мен теориялық деректердің келісілетіні немесе келісілмейтіні тексеріледі.

Пирсонның Хи-квадрат келісім критерийі таралудың заңы жөніндегі жай жорамалды тексеру үшін ең жиі қолданылатын критерий.Тексеру үшін нөлдік жорамалды ұйғарады Н₀: “эмпирикалық таралу мен теориялық таралудың арасында ешқандай айырмашылық жоқ”. Критерийді қолданудың негізгі идеясы теориялық жиіліктер мен эмпирикалық жиіліктерді салыстыру болып табылады. Егер эмпирикалық жиіліктер (n_i) теориялық жиіліктерден (np_i) қатты ерекшеленетін болса, онда тексерілетін жорамалды жоққа шығару керек; керісінше жағдайда қабылдау қажет.

Колмогоров-Смирновтың келісім критерийі мәндердің аз санында да жеткілікті сезімтал болып келеді. Оны кез-келген таралудың сәйкестігін тексеру үшін қолдануға болады. Алайда, жорамал бойынша тағайындалған таралу функциясы үздіксіз болуы керек екендігін ескеру қажет.

Параметрлік емес критерийлер бас жиынтықтың таралу түріне тәуелсіз, берілген жиынтықтың варианталары мен олардың жиіліктеріне ғана тәуелді функциялар болып табылады.Параметрлік емес критерийлер параметрлік критерийлер үшін қажетті болып табылатын таралудың кейбір параметрлерін есептеуді талап етпейді.Сондықтан параметрлік емес критерийлерді және параметрлік емес статистика әдістерін параметрден бос немесе еркін таралған деп атайды.

Параметрлік емес критерийлерді қолданудың тиімділігі мен мүмкіндіктері:

- зерттелетін жиынтықтың таралу түрі белгісіз, бұл көбіне көлемі аз жиынтықтармен жұмыс істегенде мәнді;

- сандық және сапалық белгілермен жұмыс істеуге мүмкіндік береді;

- таңдама орта және таңдама ортаның стандартты қатесін есептеу талап етілмейді;

- зерттеліп отырған жиынтықтар арасында айырмашылықтардың бар немесе жоқ екендігін анықтауға, егер бар болса олардың кездейсоқ немесе заңдылық екендігін тағайындауға мүмкіндік береді;

- зерттелетін құбылыстар немесе белгілер арасындағы байланысты немесе тәуелділікті анықтауға мүмкіндік береді;

Параметрлік критерийлердің параметрлік емес аналогтары бар.Стьюденттің жұптаспаған критерийі үшін параметрлік емес Манна-Уитни, жұптасқан критерийі үшін параметрлік емес Уилкоксон критерийлері аналогтары болып табылады.

Манн-Уитни критерийі байланыспаған таңдамалардың n₁, n₂<60 болғанда салыстырылатын таңдамалардың бір ғана бас жиынтықтан алынғандықтары жөніндегі жорамалды тексеру үшін қолданылады.

Уилкоксон критерийі (жұптасқан Т-критерий) байланысқан жиынтықтар үшін жеткілікті дәлдікпен айырмашылықтарды бағалауға қолданылады.

Әрбір зерттеу үшін сәйкес статистикалық өңдеу әдісін дұрыс таңдау – кез-келген зерттеудің бірден-бір ең маңызды мезеттерінің бірі.

Салыстырылатын тәуелсіз таңдамалардың бір бас жиынтыққа қатысы туралы болжамды тексеру үшін Манн—Уитни U-критерийін келтіреміз.