Критерий Лапласа

Доминируемые и доминирующие альтернативы

Пусть задача принятия решения характеризуется n-состояниями среды: у₁, у₂,..у_n и предусматривает выбор из m-альтернатив: х₁, х₂,..х_m. Причём для каждой пары (х_i, y_j) определено значение функции f(х_i, y_j).

Тогда задачу принятия решения можно описать с помощью платёжной матрицы:

Таблица 1.

Предположим, что для некоторых целых чисел i и k Є [1,m] выполняется условие: для любого j f(x_i,y_j) ≥ f(x_k,y_j).

В строке i результаты больше, чем в строке k. Следовательно, стратегия x_i доминирует стратегию x_k, x_k – доминируемая стратегия.

Очевидно, что доминируемые стратегии (или альтернативы) заведомо хуже других, а доминирующие заведомо лучше. Отсюда следует первый принцип, которому должен удовлетворять критерий оптимальности.

a) Принцип доминирования:

- если существует доминирующая стратегия, то критерий оптимальности должен обеспечивать выбор именно этой стратегии;

- если существуют доминируемые стратегии, то их удаление и введение не должно влиять на выбор наилучшей стратегии.

Так же очевиден смысл двух других принципов:

b) Перенумерация альтернатив (нумерация строк) и/или состояний среды (нумерация столбцов) не должна влиять на выбор наилучшей стратегии.

c) Предположим, что ко всем значениям функции выигрыша добавлено число а: f(x_i,y_j) + a. Очевидно, что критерий оптимальности должен обеспечивать выбор наилучшей стратегии, которая не зависит от аддитивной постоянной к функции выигрыша.

Существуют и другие принципы критериев оптимальности, но они применяются редко.

Рассмотрим наиболее часто применяемые критерии оптимальности.

Критерий Лапласа

Критерий Лапласа основан на гипотезе, согласно которой все состояния среды реализуются с одинаковыми вероятностями.

Если возможна реализация 2-х состояний А и В и нет никакой информации об их вероятностях, то естественно предполагать, что:

Р(А) = Р(В) = ½.

Если среда может принимать состояния у₁, у₂,..у_n и нет информации о вероятностях этих значений, то естественно предполагать:

Р(у₁) = Р(у₂) = ...= Р(у_n) = 1/n.

Пусть для задачи принятия решения, заданной Таблицей 1, принята гипотеза равной возможности. Для каждой стратегии x_i определим значение функции L (x_i):

L (x_i) = 1/n*∑ f(x_i,y_j) (1)

Получим L(x₁), L(x₂),.. L(x_n) – среднеарифметические выигрыши для каждой стратегии.

Выбираемая стратегия x_i: L(x_l) ≥ L(x_i) (2)

Пример 1: Найти наилучшую стратегию по критерию Лапласа для задачи принятия решения, заданной платёжной матрицей:

*

Легко показать, что критерий Лапласа удовлетворяет всем 3-м условиям, определённым в пункте 2.1.1.

Тем не менее, у критерия Лапласа есть недостаток: по критерию Лапласа может быть выбрана рискованная стратегия.

Маленькие значения выигрыша при нахождении среднего перекрываются большими – эффект компенсации.