Доказательство. Подставляя в уравнение 5 равенство 6 получаем или

Подставляя в уравнение 5 равенство 6 получаем или . Таким образом, чтобы найти общее решение ЛН ОДУ 2 (соответственно 5) нужно н6айти сначала любое его частное решение, затем определить общее решение, соответствующее этому общее решение однородного ОДУ. Этот вопрос мы изучали на прошлой лекции. Ниже рассмотрим некоторые приёмы нахождения частного решения ОДУ 2:

1) Метод неопределенных коэффициентов

Суть этого метода заключается в том, что по виду правой части (то есть функции f(x)) ОДУ 2 предлагается искать его частное решение, то есть функцию по виду функции f(x).

1. Пусть , где (7) – многочлен n-ой степени. В нём – заданные коэффициенты. В этом случае приходится искать частное решение ОДУ 2 в виде (8), где – неизвестные коэффициенты. Подставляя функцию 8 и её производные в ОДУ 2 получаем в правых и левых частях равенства многочлены n-ой степени. Опираясь на теорему о многочленах из алгебры, которая утверждает, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны в них коэффициенты при одинаковых степенях x. После выполнения этой процедуры на неизвестные коэффициенты получаем СЛАУ, решая которую методом Гаусса мы находим неизвестные коэффициенты , которые затем подставляются в многочлен 8.

2. Пусть

Здесь необходимо различать три случая:

- если не является корнем ХУ, тогда частное решение рекомендуется искать в виде , где (9) – многочлен с неизвестными коэффициентами. Коэффициенты … определяются так же как и в случае 1.

- если же не является корнем ХУ кратности r, то частное решение рекомендуется искать в виде .

- пусть правая часть ОДУ 2 имеет вид или или , где M и N числа. Тогда частное решение ОДУ 2 определяется следующим образом: если не является Корнеем ХУ, то частное решение рекомендуется искать в виде , где A и B неизвестные постоянные определяются по алгоритму приведённому в пункте а). Если является корнем ХУ кратности r, то частное решение рекомендуется искать в виде .

б) Метод вариации постоянной

иногда для нахождения общего решения ОДУ 2 пользуются фундаментальной системой решений для однородного ОДУ 3, которое запишется так (10). Где – постоянная. Далее предположим, что частное решение ОДУ 2 можно записать так (11). Где (x)- неизвестная функция.

Подберём эти n неизвестных функций Таким образом, чтобы функция 11 являлась решением ОДУ 3 соответственно 5. имеем (12), так как у нас неизвестных n функций (x), то для их определения мы должны записать ещё n-1 условие. Эти условия можно задавать произвольно, лишь бы выполнялось условие их совместности. В дальнейшем мы будем подбирать эти n-1 условия таким образом, чтобы уравнение 5 было наиболее простым. Перепишем уравнение 12 следующим образом (13) и от выражения 11 получим первую производную. Имеем ….. и в качестве дополнительного условия рассмотрим равенство (14). С учётом этого получаем (15). Заметим, что равенство 15 имеет такой же вид как и формула 11. таким образом мы имеем два условия, нужно получить n-1 условие. С этой целью продифференцируем выражение 15 ещё раз и получим: В качестве дополнительного условия (16). С учётом 16 получаем . (17). Продолжая этот процесс получаем следующую систему из n уравнений для функций . Из следующей СЛАУ { (18). Коэффициентами в этой СЛАУ являются

Определитель Вронского составленный из этих коэффициентов не равен нулю, так как функция … является линейнонезависимыми и образуют фундаментальную систему решений. Решая СЛАУ 18 относительно функций путём интегрирования их получаем Находим эти функции и подставляем их в формулу 11, тем самым находим общее решение ЛН ОДУ 2. Этот метод называется методом вариации постоянных.