Определение. Линейные неоднородные ОДУ первого порядка

Линейные неоднородные ОДУ первого порядка

Уравнения вида (1) относятся к классу неоднородных ОДУ первого порядка. В уравнении 1 функции и и считаются заданными явными функциями.

Определение

ОДУ 1 называется однородным, если в нём , D- область определения функции. В противном случае- неоднородным.

Наряду с уравнением 1 встречаются ОДУ вида (2)

В уравнении 2 в правой части b(x,y) зависит не только от независимой переменной x, но и от решения y(x).

Определение

ОДУ первого порядка называется линейным, если в нём коэффициент при функции y (a(x)) и правая часть b(x) зависят только от независимой переменной x.

Прежде чем приступить к нахождению общего решения ОДУ 1 сначала рассмотрим общее решение однородного ОДУ.

а) общее решение однородного линейного ОДУ первого порядка. В соответствии с определением (3).

В уравнении 3 и задана функцией. Общее решение этого уравнения будем искать методом разделения переменных.

Перепишем уравнение 3: (4) . Умножаем обе части уравнения 4 на и получаем (5). Интегрируем: (6). Имеем => , где

(7).

Таким образом общее решение сходного уравнения 3 имеет вид 7.

б) общее решение неоднородного ОДУ первого порядка.

Итак, вернёмся к нахождению общего решения ОДУ 1. Решение этого ОДУ будем искать в виде (8)

Здесь - неизвестная функция, которую следует определить. С этой целью подставим функцию 7 и её производную: и получим отсюда или (9)

Уравнение 9 является ОДУ с разделяющими переменными относительно неизвестной функции c(x).

Решая это уравнение находим неизвестную функцию c(x) равную (10). В равенстве 10 … - постоянная интегрирования. Подставляя равенство 10 в решение 9, получаем (11). Таким образом, чтобы найти решение ОДУ 1 нужно определить в нём коэффициент a(x), правую часть b(x), подставить их в вид в формулу 11, вычислить неопределённые интегралы и определить явный вид решения, то есть функции y(x).

в) Задача Коши

формула 11 для ОДУ 1 является общим решением. Если рассмотрим задачу Коши для этого ОДУ { (12), то в результате решения системы 12 мы получим частное решение, алгоритм определения состоит из двух шагов.

Шаг 1

В этом шаге с помощью формулы 11 определяем общее решение первого уравнения системы 12, то есть дифференциального уравнения. Эта функция удовлетворяет только первому уравнению, но не удовлетворяет начальным условиям (см. второе уравнение системы 12).

Шаг 2

В этом шаге требуем, чтобы решение уравнения 11 удовлетворяло второму условию системы 12, то есть . В результате этого определяем постоянную , значение которой подставляем в равенство 11.