МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ 3 страница

Рис.8. Типы функций распределения случайной величины:

а) нормальное, б) островершинное, в) двухвершинное,
г) трапецеидальное, д) равномерное.

В технологии машиностроения большинство кривых распределения можно аппроксимировать законом нормального распределения (Гаусса-Ляпунова) (рис.9).

,

где σ и – параметры закона нормального распределения. Площадь под кривой нормального распределения в пределах соответствует вероятности того, что результаты эксперимента попадут в данный интервал. Эта площадь характеризуется интегралом вероятности

,

Его величина колеблется в пределах

Рис.9. Кривая нормального распределения.

Кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс. Для технических расчетов вполне допустимо ограничить поле рассеяния пределами ±3σ (от значения ). При этом площадь под кривой в этих пределах составляет 99.73% площади, ограниченной всей кривой, т.е. за пределами площади 6σ будет находится только 0.27% всей площади.

Оценку соответствия результатов измерения закону нормального распределения ведут по одному из следующих показателей:

1) по среднему абсолютному отклонению (САО);

2) по размаху варьирования;

3) по показателю асимметрии и эксцесса;

4) по критерию Пирсона (χ² );

5) по критерию Колмогорова-Смирнова (КС).

Для небольших выборок (N < 120) используют САО.

При законе нормального распределения должно соблюдаться неравенство, установленное экспериментально

.

11.3. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительным интервалом называется интервал значений величины X_i, в который попадает истинное значение X_D измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины X_D попадет в данный доверительный интервал

;

Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а достоверная вероятность – ее достоверность.

Достоверность измерения показывает степень доверия к результатам измерения или вероятность отклонения результатов измерения от действительного значения измеряемой величины.

Доверительная вероятность (достоверность) оценивается в долях единицы и описывается выражением

где , – значение интегральной функции Лапласа при значении аргумента t (гарантийного коэффициента), равного t₁ и t₂ соответственно.

Коэффициент t определяется выражением

,

где μ – характеристика точности, которая оценивается величиной
половины поля допуска (т.к. сравнение ведется с σ, а не с 2σ). При симметричных верхних и нижних отклонениях , тогда

Доверительная вероятность, гарантийный коэффициент и текущее значение измеряемой величины X связаны между собой интегралом вероятности (интегралом Лапласа)

.

Численные значения интегральной функции Лапласа для некоторых значений гарантийного коэффициента t приведены в табл.5 и на рис.10.

Рис.10. Значение интеграла вероятности при различных значениях
гарантийного коэффициента.

Таблица 5

Значения интегральной функции Лапласа

Следует иметь в виду, что таблицы интеграла вероятности могут составляться по-разному. В одних таблицах значение интеграла вероятности приводится как удвоенная площадь под одной из ветвей симметричной кривой (в пределах от 0 до t), в других – для одностороннего интервала (т.е. ).

Величина характеризует вероятность того, что измеренная величина выйдет за пределы ,т.е. не попадет в установленный интервал.

Таким образом, с помощью интеграла вероятности можно решать две задачи:

1) определять доверительную вероятность (достоверность) известной точности измерений 2μ (прямая задача),

2) определять необходимую точность (поле допуска) по принятой доверительной вероятности – P_D (обратная задача).

Пример. Необходимо определить достоверность измерений для доверительного интервала μ = ±70 мкм при σ = 31 мкм. Для этого определяем значение

.

Затем по таблице функции Лапласа находим значение P_D = 0,976 (при t = 2,26). Это означает, что из 100 измерений в заданный интервал попадет 97 измерений, не попадет 3 измерения.

Величину называют уровнем значимости. Из этого выражения следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться 1 раз из N_u измерений

,

т.е. приходится браковать 1 из N_u измерений.

При P_D = 0,9 это 1 из 9 измерений

P_D = 0,95 – 1 из 19 измерений

Р_D = 0,9973 - 1 из 367 измерений.

Обратная задача. Если на основе экспериментальных данных установлена доверительная вероятность P_D (в машиностроении ее обычно принимают равной 0,9; 0,95; 0,9973), то можно установить необходимую точность измерений (или доверительный интервал 2μ, т.е. поле допуска). Для больших выборок (N > 30) расчет ведется на основе соотношения

Половина доверительного интервала определяется выражением

,

где аргумент функции Лапласа при N > 30.

Для малых выборок (N ≤ 30) границы доверительного интервала рассчитываются по методу Стьюдента (псевдоним английского математика У.Госсета).

,

где – коэффициент Стьюдента.

Зная μ_cm, можно определить действительное значение искомой величины для малой выборки с принятой доверительной вероятностью

.

Возможна иная постановка задачи: по количеству измерений малой выборки (N) определить доверительную вероятность P_D при условии, что погрешность заданного значения не выйдет за пределы . Задача решается в такой последовательности.

1) Вычисляют среднее значение .

2) Вычисляют значение σ и по формулам

; .

3) Находят коэффициент Стьюдента

.

4) По и количеству измерений N по таблице находят значение P_D, используя линейную интерполяцию.

Пример. Проведены измерения длины 63 образцов (N > 30) и получены следующие результаты: = 720 мм, среднеквадратическое отклонение σ = ± 0,4 мм. При гарантийном коэффициенте t = 1, и φ(t) = 0,683, т.е. из 1000 измерений 683 попадают в установленный доверительный интервал (317 – выходят за его пределы). При t = 3, , X = 720 ± 1,2 мм, φ(t) = 0,9973, т.е. из 1000 измерений 997 попадет в данный доверительный интервал. В машиностроении гарантийный коэффициент обычно колеблется в пределах от 2 до 3.

Если при обработке деталей величину доверительного интервала принять за допускаемую погрешность (допуск ), то уменьшая допуск, мы снижаем надежность обработки, увеличивая вероятность появления брака. Наоборот, понижение требований к точности обработки увеличивает надежность и уменьшает процент брака.

Пример. Установить границы доверительных интервалов по результатам измерений 5 и 10 деталей для P_D = 0,95 и P_D = 0,995.

Сначала используем первые 5 измерений

;

.

Для P_D = 0,95 и N = 5 по таблице находим значение = 2,78. Тогда абсолютная погрешность результатов измерений для N = 5 будет

.

Т.е. результаты измерений можно представить в виде

d = 14,82 ± 0,03 мм.

При этом учтено, что погрешность микрометра 0,01 мм меньше полученной абсолютной погрешности измерений. Относительная погрешность

.

Для P_D = 0,995 и N = 5, = 5,6 тогда

, т.е.

и .

Как видим, для повышения надежности с P_D = 0,95 до P_D = 0,995 необходимо расширить границы доверительного интервала в 2 раза.

Для всех 10 измерений имеем

; ; .

Тогда

для P_D = 0,95, = 2,26; ΔX = 0,017»0,02 мм; d = 14,82 ± 0,02 мм; δ = ± 0,13%;

для P_D = 0,995, = 3,69; ΔX = 0,027»0,03 мм; d = 14,82 ± 0,03 мм; δ = ± 0,2%;

Таким образом, с увеличением числа измерений абсолютная и относительная погрешность уменьшается. Для N = 10 она в 2 раза меньше, чем для N = 5 при P_D = 0,995.

11.4. Минимальное количество измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью в определенных условиях можно определить минимальное, но достаточное для данных условий количество измерений. Другими словами, задача ставится таким образом: задано значение доверительного интервала 2μ и доверительной вероятности P_D; необходимо определить минимальное число измерений (выборки) N_min, обеспечивающее заданное P_D и 2μ.

Относительную точность измерения для малых выборок можно оценить величиной

.

Минимальное количество экспериментов (измерений), гарантирующее требуемое значение μ (ΔX) и P_D определяется из соотношения

,

откуда

,

где – коэффициент Стьюдента, который находится по таблице в зависимости от P_D (или α = 1 – P_D) и числа степеней свободы f = N – 1, т.е. величины σ и зависят от N. Поэтому, по приведенной выше формуле нельзя сразу определить минимальное количество измерений. Задача решается в несколько этапов. Вначале проводят предварительный эксперимент с небольшим количеством измерений (N₁ = 5...10), определяют σ и задаются точностью измерений, т.е. полем допуска 2μ (или ±ΔX). Принимают доверительную вероятность P_D, по которой находят табличное значение коэффициента Стьюдента и рассчитывают минимальное количество измерений N. Если N₁ ≥ N, то объем выборки принимается равным N₁. При N₁ < N проводится (N – N₁) дополнительных экспериментов. Они обрабатываются с результатами ранее выполненных экспериментов, и процедура расчета повторяется.

Минимальное количество экспериментов можно также определить через коэффициент вариации K_B и коэффициент K, который показывает долю допустимой ошибки от среднеарифметического значения величины (выбирается из практических соображений).

или ; или .

Так, например, при испытаниях стойкости режущих инструментов принимают K = 0,2. Тогда формула для определения минимального количества экспериментов принимает вид

.

Как видим, с уменьшением K (т.е. с увеличением точности эксперимента) объем испытаний должен быть увеличен.

В случае (практически при N > 30) кривые распределения Стьюдента переходят в кривые нормального распределения, и расчет ведется по формулам с аргументом функции Лапласа t (гарантийный коэффициент). Он зависит от точности измерений и принимается равным t = 3 – при малой точности, t = 2 – при большой точности.

11.5. Исключение грубых ошибок.

Существует несколько методов определения грубых ошибок. Наиболее надежными являются методы, основанные на использовании доверительного интервала. Они применимы в случаях, когда погрешности измерений подчиняются нормальному закону распределения. Наиболее простой из этих методов основан на использовании правила трех сигм, т.е. разброс случайной величины от ее среднего значения не должен превышать ±3σ.

В статистическом ряде малой выборки (N ≤ 30), подчиняющемся закону нормального распределения, грубые ошибки могут быть исключены с использованием критериев Груббса, которые определяются по следующим зависимостям:

; ,

где X_max, X_min – максимальное и минимальное значение результатов N измерений.

Расчетные значения β₁ и β₂ сравнивают с табличным значением β_max для принятой доверительной вероятности P_D. Если β₁ или β₂ больше β_max , то результат этого опыта исключается. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто неравенство

; .

Значения критерия Груббса β_max приведены в табл.8 приложения.

Для приближенной оценки и «отсева» грубых ошибок можно применить следующую процедуру:

1) вычислить среднеквадратическое отклонение – σ,

2) определить ,

3) принять доверительную вероятность P_D, найти по таблице коэффициент Стьюдента и определить доверительный интервал ,

4) определить действительное значение измеренной величины ; результаты измерений, выходящие за пределы значений X_D, отбрасываются как грубые ошибки.

В случае более глубокого анализа результатов измерений (экспериментальных данных) рекомендуется следующая последовательность действий:

1) экспериментальный статистический ряд анализируется и исключаются систематические ошибки;

2) анализируют ряд на грубые ошибки и промахи, для чего устанавливают значения X_max, X_min, определяют среднеквадратическое отклонение σ, вычисляют критерии β₁, β₂ и сопоставляют с табличными β_max, исключают при необходимости X_max, X_min и получают новый (очищенный) ряд;

3) вычисляют среднее арифметическое , погрешность отдельных измерений и среднеквадратическое отклонение σ очищенного ряда;

4) находят серии измерений и коэффициент вариации ;

5) при большой выборке (N > 30) задаются величиной P_D и по таблице функции Лапласа находят t; при малой выборке (N ≤ 30) в зависимости от принятого P_D и количества измерений находят коэффициент Стьюдента ;

6) определяют доверительный интервал по формулам – для большой выборки, – для малой выборки; у

7) устанавливают действительное значение измеряемой величины или ;

8) оценивают относительную погрешность (%) результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности или .

Пример. Имеется статистический ряд из 18 измерений стойкости T, мин.

№ изм.
		-7,83	61,3089
		-7,83	61,3089
		-6,83	46,6489
		-6,83	46,6489
		-5,83	33,9889
		-4,83	23,3289
		-3,83	14,6689
		-1,83	3,3489
		-0,83	0,6889
		0,17	0,0289
		1,17	1,3689
		2,17	4,7089
		3,17	10,0489
		4,17	17,3889
		5,17	26,7289
		6,17	38,0689
		7,17	51,4089
		17,17	294,8089
		-46,50 +46,50	=736,5002

Вначале необходимо проверить, нет ли грубых ошибок (по β_max).

;

; ; .

По таблице 8 при P_D = 0,99 и N = 18 находим , т.е. . Значит измерение 92 не является грубой ошибкой.

При P_D = 0,95 , т.е. ; измерение 92 следует исключить.

Если применить правило 3σ, т.е. P_D = 0,9973, то , т.е. измерение следует оставить. После исключения размера 92 , ; . При N = 18, .

Найдем минимально необходимое количество измерений для P_D = 0,95 и двух заданных точностей ΔХ = 3 и ΔХ = 5. Из предварительной серии N₁ = 18 опытов определяем σ = 6,58, по таблице находим . Тогда при ΔХ = 5,

При ΔХ = 3, .

Таким образом, для обеспечения точности ΔХ = 5 N₁ > N и дополнительных экспериментов проводить не требуется. Для повышения точности (ΔХ = 3) требуется увеличение количества параллельных опытов.