Проведение и обработка результатов эксперимента.

Каждая строка матрицы – это условия опыта. Для исключения случайных ошибок рекомендуется проводить опыты в случайной последовательности, для чего проводят так называемую рондомизацию (перемешивание), используя таблицы случайных чисел или «жеребьёвку» опытов. С целью взаимной компенсации случайных погрешностей каждый опыт рекомендуется проводить n раз (обычно n = 2…3, редко n = 4…5 раз). Опыты при одних и тех же значениях факторов называют параллельными, а постановку параллельных опытов – дублированием.

Эксперименты могут проводиться по одному из вариантов:

1) с равномерным дублированием опытов,

2) с неравномерным дублированием опытов,

3) без дублирования опытов.

При равномерном дублировании все строки матрицы планирования имеют одинаковое количество параллельных опытов; в случае неравномерного дублирования – неодинаковое. Равномерное дублирование предпочтительно, т.к. даёт простую матрицу и бóльшую точность. Характер дублирования влияет на содержание математической обработки результатов эксперимента.

Методика проведения и обработки результатов экспериментов с равномерным дублированием опытов заключается в следующем.

1) Для каждой строки матрицы планирования по результатам n параллельных опытов находят среднее арифметическое значение параметра оптимизации

,

где u – номер параллельного опыта,

y_ju – значение параметра оптимизации в u-м параллельном опыте j-й строки матрицы планирования.

2) С целью оценки отклонений параметра оптимизации от его среднего значения для каждой строки матрицы планирования вычисляют дисперсию по данным n параллельных опытов и ошибку опыта .

;

3) Перед началом обработки результатов из параллельных опытов исключают резко выделяющиеся результаты, используя критерий Груббса.

; ,

где , – максимальное и минимальное значение параметра оптимизации в строке матрицы (в n параллельных опытах). Расчетные значения β₁ и β₂ сравнивают с табличным значением β_max. Если β₁ > β_max или β₂ > β_max, то результаты этого опыта исключают. Для сохранения одинакового числа опытов в каждой строке целесообразно провести дополнительные эксперименты, определить новые значения у_ji, σ_j, β₁, β₂ и сравнить их с β_max. Эта процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто неравенство β₁ < β_max; β₂ < β_max.

4) Результаты опытов исследуют на однородность дисперсий по критерию Кохрена, расчетное значение которого определяется по формуле

.

Оно сравнивается с табличным значением G_m. Если G_p < G_m то дисперсии считаются однородными, если G_p > G_m, то дисперсии неоднородны, т.е. исследуемая величина не подчиняется закону нормального распределения. В этом случае нужно попытаться заменить «y» случайной величиной , достаточно близко подчиняющейся закону нормального распределения.

Для однородных дисперсий опыта вычисляют дисперсию воспроизводимости эксперимента по выражению

.

5) По результатам эксперимента вычисляются коэффициенты математической модели (уравнения регрессии) по следующим формулам, полученным методом наименьших квадратов,

– свободный член,

– коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие линейные эффекты взаимодействия,

– коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие двойные эффекты взаимодействия,

– коэффициенты уравнения регрессии, характеризующие тройные эффекты взаимодействия,

где N – число строк в матрице планирования (число вариантов опытов);

i, l, h – номера факторов;

j – номер строки или опыта в матрице планирования;

y_j – значение параметра оптимизации в j-м опыте;

x_ij, x_lj, x_hj – кодированное значение (+1 или –1) факторов i, l, h в j-м опыте.

6) Проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии одним из двух способов:

1) сравнением абсолютной величины коэффициента с его доверительным интервалом,

2) с помощью критерия Стьюдента (α_ст).

По первому способу для принятого доверительного интервала вычисляют дисперсию и ошибку определения коэффициентов уравнения регрессии по формулам

, ,

где – ошибка в определении i-го коэффициента уравнения регрессии,

– дисперсия i-го коэффициента уравнения регрессии.

Доверительный интервал определяется по формуле

,

где – табличное значение коэффициента Стьюдента при принятом уровне значимости α, а также при числе степеней свободы f, с которой определяется дисперсия . При равномерном дублировании , где N – количество опытов в матрице планирования, n – количество параллельных опытов в строке. Уровень значимости α обычно принимается равным 0,05 (5%), т.е. доверительная вероятность P_D = 0,95 (95%). Коэффициент b_i уравнения регрессии считается значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала, т.е.

.

При проверке значимости коэффициента b_i с помощью критерия Стьюдента вначале определяют расчетное его значение по формуле

.

Затем сравнивают его с табличным значением для принятого уровня значимости α и числа степеней свободы f. Коэффициент значим, если . Члены уравнения регрессии со статистически незначимыми коэффициентами исключают из уравнения.

7) Проверяют гипотезу адекватности найденного уравнения регрессии и результатов эксперимента. Для этого необходимо и достаточно оценить отклонение выходной величины, предсказанное математической моделью , от результатов эксперимента в точках факторного пространства . Оценка производится по критерию Фишера (F), расчетное значение которого определяется по формуле

,

где – дисперсия адекватности (неадекватности), которая характеризует рассеяние результатов эксперимента вблизи уравнения связи (регрессии), аппроксимирующего искомую функцию.

Дисперсия адекватности или остаточная дисперсия определяется по формуле

,

где K^* – количество оставленных коэффициентов уравнения регрессии, включая b₀;

– среднее арифметическое значение параметра оптимизации в j-м опыте;

– вычисленное по математической модели значение параметра оптимизации в j-м опыте.

Находят табличное значение критерия Фишера для принятого уровня значимости и соответствующих величин степеней свободы числителя f_ад и знаменателя f_y, которые определяются по формулам

; .

Если расчетное значение критерия Фишера F_p меньше табличного F_T (F_p < F_T), то модель адекватна, в противном случае – не адекватна.

Математическая обработка результатов экспериментов с неравномерным дублированием проводится по специальным методикам.

Методика обработки результатов эксперимента, проведенного без дублирования опытов, заключается в следующем. Для вычисления дисперсии воспроизводимости выполняют несколько параллельных опытов (n₀) в центре плана (нулевой точке), т.е. все факторы принимаются на нулевых уровнях. По результатам экспериментов вычисляют дисперсию и ошибку опытов

; ,

где n₀ – количество параллельных опытов в нулевой точке;

y_u – значение параметра оптимизации в u-м опыте;

– среднее арифметическое значение параметра оптимизации в n₀ параллельных опытах.

По результатам экспериментов вычисляются коэффициенты математической модели (уравнения регрессии) по приведенным выше формулам, т.е.

; ;

; .

Далее проверяют статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии путем сравнения абсолютного значения коэффициента с его доверительным интервалом или по критерию Стьюдента . Для этого вычисляют дисперсию и ошибку определения коэффициентов уравнения регрессии по формулам

, ,

где – ошибка в определении i-го коэффициента уравнения регрессии,

– дисперсия i-го коэффициента уравнения регрессии.

При использовании в качестве оценки доверительного интервала, он определяется по формуле

,

где – табличное значение коэффициента Стьюдента при числе степеней свободы f = n₀ – 1 и принятом уровне значимости α (обычно α = 0,05 или P_D = 0,95).

Коэффициенты уравнения регрессии считаются значимыми, если их абсолютная величина больше доверительного интервала, т.е.

При использовании для оценки коэффициента Стьюдента вычисляют их значение по формуле

и сравнивают с табличным значением при f = n₀ – 1 и принятой доверительной вероятности. Если , то коэффициенты статистически значимы, если , то коэффициенты статистически незначимы и соответствующие им слагаемые исключаются из математической модели.

Гипотеза адекватности результатов эксперимента и аппроксимирующей их математической модели проверяется по критерию Фишера (F), расчетное значение которого определяется по формуле

,

где

K – число переменных (факторов);

– экспериментальное значение параметра оптимизации в j-м опыте;

y_j – значение параметра оптимизации в j-м опыте по математической модели;

– число степеней свободы для линейной модели.

Для принятого уровня значимости (достоверности) с учетом степени свободы числителя и знаменателя находится табличное значение критерия Фишера (F_T). Если F_p < F_T, то модель считается адекватной, при F_p > F_T – модель неадекватна.

Адекватность модели для интерполяционных экспериментов означает конец решения задачи. Если линейная модель неадекватна, то для интерполяционных экспериментов используют следующие приемы:

1) усложняют линейную модель, вводя эффекты взаимодействия,

2) переходят к планированию 2-го порядка,

3) сокращают интервалы варьирования факторов.

Для экстремальных экспериментов переносят центр плана в лучшую точку и проводят новую серию экспериментов при уменьшенных интервалах варьирования. Причина неадекватности модели может быть не только в интервалах варьирования, но и в том, что нулевая точка находится в непосредственной близости от оптимума. Тогда переходят к планированию 2-го порядка. При этом может оказаться, что уже после построения неполной квадратной модели она станет адекватной.

Если необходимо перейти к натуральным переменным , нужно вместо х_i подставить значения натуральных переменных (т.е. «раскодировать» х_i),

,

где – верхнее натуральное значение фактора,

– нижнее натуральное значение фактора,

– натуральное значение фактора (верхнее или нижнее).

Пример. Получено уравнение регрессии для расчета шероховатости поверхности R_a при ленточном шлифовании следующего (кодированного) вида:

,

где x₁ – время шлифования (t = 10 с; 60 с),

x₂ – сила прижима ленты (Р = 20 н; 70 н),

х₃ - зернистость ленты (K =28/20 мкм; 125/100 мкм),

у – шероховатость (R_a), мкм.

Необходимо перейти к натуральным параметрам ( ; ; ; ). Для этого в уравнение регрессии подставим выражения x₁, x₂, x₃, по которым осуществлялось кодирование, и приведем подобные члены.

; ;

.

Тогда ,

или .

В ряде случаев для приведения уравнения регрессии к линейному виду целесообразно рассматривать не сами переменные, а некоторые функции этих переменных (логарифмы, обратные величины и др.). Если необходимо получить уравнение регрессии вида

,

то путем его логарифмирования получим линейное уравнение относительно коэффициентов b_i

.

Для нахождения коэффициентов b_i пользуются линейным методом наименьших квадратов. Однако следует иметь в виду, что найденные оценки коэффициентов будут смещенными, т.к. в этом случае минимизируется не сумма квадратов отклонений экспериментальных и расчетных значений «y_i», а сумма квадратов отклонений логарифмов этих величин.

Пример.

Необходимо установить зависимость стойкости резцов с пластинами Т14К8 от режимов резания. В теории резания эту зависимость принято описывать математической моделью типа

,

где Т – показатель стойкости (мин),

С_Т – постоянный коэффициент,

V – скорость резания (м/мин),

S – подача (мм/об),

t - глубина резания (мм).

После логарифмирования получаем

.

Запишем это уравнение в следующем виде:

,

где ; ; ; ; ; ; ; .

Для определения коэффициентов b_i можно использовать ПФЭ типа 2³. Преобразование независимых переменных к безразмерным переменным производиться с помощью уравнения вида

.

Кодирование переменных факторов, матрица планирования и результаты экспериментов представлены в таблицах. Опыт №9 выполнен в центре плана (на нулевом уровне).

Таблица 12

Уровень факторов	V	S	t
верхний (+)		5,42	0,2	-1,61	2,0	0,69
нулевой		4,95	0,125	-2,08	1,25	0,223
нижний (–)		4,02	0,050	-3,0	0,5	-0,69

Матрица планирования ПФЭ–2³ и результаты эксперимента

Таблица 13

№ опыта, j	xi	Стойкость (Т/lnT), мин
x0	x1	x2	x3	Y1=T1/lnT1	Y2=T2/lnT2	Y3=T3/lnT3	=Tj/lnTj
	+	–	–	–	162/5,088	264/5,576	185/5,220	203/5,316
	+	+	–	–	45/3,807	78/4,357	40/3,689	54,3/3,995
	+	–	+	–	143/4,963	215/5,371	170/5,136	176/5,17
	+	+	+	–	14/2,639	16/2,773	22/3,091	17,3/2,851
	+	–	–	+	95/4,554	156/5,05	132/4,883	128/4,852
	+	+	–	+	25/3,219	31/3,434	23/3,135	26,3/3,270
	+	–	+	+	135/4,905	129/4,86	85/4,443	116,3/4,756
	+	+	+	+	10/2,303	8/2,079	12/2,485	10/2,303
	+				124/4,82	68/4,22	45/3,807	79/4,369

Рассчитываем коэффициенты уравнения регрессии

Тогда .

Далее выполняется статистический анализ результатов математического моделирования, т.е. проверяется значимость коэффициентов уравнения регрессии, адекватность математической модели и т.п.

Вычисляем дисперсию для каждой строчки матрицы планирования по результатам 3-х параллельных (дублирующих) опытов по формуле

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Проверяем результаты опытов на наличие грубых ошибок по критерию Груббса и устанавливаем, что резко выделяющиеся результаты отсутствуют.

Проверяем результаты опытов на однородность дисперсий по критерию Кохрена

.

Табличное значение критерия Кохрена G_T для доверительной вероятности P_D = 0,95, N = 8 и , G_T = 0,516, т.е. G_p < G_T и дисперсии считаются однородными.

Определяем дисперсию воспроизводимости эксперимента

.

Дисперсия ошибки определения i-го коэффициента уравнения регрессии (b_i) будет

; .

Доверительный интервал

.

Для P_D = 0,95 и числа степеней свободы , . Тогда . Так как , то все коэффициенты b_i уравнения регрессии значимы.

Проверяем гипотезу адекватности, рассчитав критерий Фишера по формуле

,

где .

Найдем значение для каждой строки матрицы планирования экспериментов, вычислив предварительно значение по математической модели.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

,

,

.

При степени свободы числителя и знаменателя с достоверностью P_D = 0,95 табличное значение критерия Фишера F_T = 3,01, т.е. F_T > F_p и значит модель адекватна.

Для перехода к математической модели в натуральных значениях факторов в полученное уравнение регрессии вместо x_i подставим их значения согласно формулам кодирования

;

;

;

;

.

Потенцируя полученное уравнение, имеем окончательно

.

Расчеты стойкости по разработанной матмодели для условий экспериментов, представленных в матрице планирования, показали следующие результаты

Т₁ = 270,4 мин; Т₂ = 40 мин; Т₃ = 150,5 мин; Т₄ = 23,3 мин;

Т₅ = 157,8 мин; Т₆ = 23,3 мин; Т₇ = 87,8 мин; Т₈ = 13 мин; Т₉ = 36,3 мин

Сравнение экспериментальных данных с расчетными показывает, что они отличаются как в сторону увеличения, так и уменьшения стойкости. Максимальная разница между расчетным и экспериментальным значением стойкости имеет место в контрольном опыте №9 (54,3%). Такая большая разница указывает на большую нестабильность пластинок твердого сплава Т14К8, что также видно по выходному параметру, приведенному в матрице планирования экспериментов.