Обработка и анализ результатов эксперимента. Обработка и анализ результатов для ЦКОП проводятся в том же порядке, как и для ПФЭ, с аналогичными формулами для оценки дисперсий среднего арифметического

Обработка и анализ результатов для ЦКОП проводятся в том же порядке, как и для ПФЭ, с аналогичными формулами для оценки дисперсий среднего арифметического (6.8) и адекватности (6.14). Исключение составляют формулы для расчета коэффициентов полинома (6.10) и дисперсии их определения (6.12).

В силу ортогональности матрицы ЦКОП все коэффициенты имитационной модели в виде полинома 2-го порядка определяются, как и для ПФЭ, независимо друг от друга. Но если при подсчете коэффициентов в соответствии с (6.10) в знаменателе используется одно и то же значение N (число номеров опытов), то в ЦКОП расчет коэффициентов полинома ведется по формуле

(8.9)

где i = 1,2,…,k.

Это означает, что при определении коэффициентов полинома в соответствии с выражением (8.9) значение знаменателя для различных групп коэффициентов будет различным.

Для непреобразованной матрицы в соответствии с таблицей 8.1 значения знаменателей следующие:

– для b₀

– для группы коэффициентов при линейных членах X_i полинома

– для группы коэффициентов X_iX_j или X₁X₂X₃, учитывающих взаимодействие факторов

– для коэффициентов при квадратичных членах X_i² полинома

Соответственно формула для расчета дисперсии найденных по (8.9) коэффициентов полинома, будет иметь вид

(8.10)

Расчет дисперсии воспроизводимости эксперимента S²{Y} при оценке дисперсий коэффициентов в (8.10) производится по формуле (6.13).

Из сравнения (8.10) и (6.2) видно, что в ЦКОП дисперсия коэффициентов полинома будет различной для различных групп, в то время, как для линейной модели она постоянна.

Для непреобразованной матрицы оценку дисперсии для всех групп коэффициентов легко получить, учитывая приведенные выше значения знаменателя в (8.9).

Для приведенной матрицы ЦКОП в соответствии с таблицей 8.3 оценка дисперсии различных коэффициентов в общем виде может быть представлена, как

(8.11)

При k<5, когда ЦКОП базируется на ПФЭ типа 2^k.

(8.12)

(8.13)

(8.14)

где

При k≥5, когда ЦКОП базируется на ДФЭ типа 2^k–1.

(8.15)

(8.16)

(8.17)

С учетом выражений (5.11)–(5.17) значение t-параметра, подсчитанное по (3.11), будет отличаться знаменателем для различных групп коэффициентов полинома. А это означает, что в отличие от линейного приближения, при ортогональном планировании на базе полинома второго порядка оценка значимости найденных коэффициентов полинома ЦКОП будет проводиться с различной точностью. Это означает, что точность определения математической модели исследуемого процесса во всех направлениях факторного пространства не одинакова.

Различие в точности оценок коэффициентов полинома при описании областей, близких к экстремуму, особенно нежелательно, так как при планировании экстремальных экспериментов необходимо иметь высокую точность описания процесса именно в этих областях. В этом случае более удачным является центральное композиционное рототабельное планирование.

Центральный композиционный рототабельный план (ЦКРП)

Планирование и проведение эксперимента

При центральном композиционном рототабельном планировании информационная поверхность приближается к сферической, то есть точность Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра планирования становится практически одинаковой

S²{Y}→const при R=const.

При этом, ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с адекватностью представления результатов исследования процесса имитационной моделью в виде полинома 2-го порядка. Это достигается тем, что, выбирая удаленные от центра плана «звездные точки» на осях координат для непрерывности информационной поверхности, они дополняются информацией из центра плана, представляющей собой сферу с нулевым радиусом, то есть информацией равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме информации увеличивается, что достигается увеличением числа опытов (N₀) в центре плана.

Число опытов в центре плана зависит от числа учитываемых в эксперименте факторов, то есть N₀ = f(k).

При k=3 число опытов в центре плана N₀=6 совпадает с числом звездных точек. Это приводит к увеличению числа опытов по сравнению с ЦКОП, но обеспечивает непрерывность информационной поверхности и ее идентичность независимо от поворота осей координат.

При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости экспериментов, что уменьшает общее число опытов по сравнению с ЦКОП. Дисперсия воспроизводимости может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана.

Чтобы композиционный план был рототабельным, величина звездного плеча α выбирается из следующих условий:

α=2k/4 при k<5; (8.18)

α=2(k–1)/4 при k≥5. (8.19)

Подсчитанные значения звездного плеча α и число центральных точек N₀, в зависимости от числа учитываемых в эксперименте факторов, приведены в таблице 8.4.

Таблица 8.4 – Значения звездного плеча и числа центральных точек ЦКРП

Для k=3 и соответственно N₀=6 выражение (8.1) примет вид:

N=2^k+2k+6. (8.20)

Тогда матрица планирования ЦКРП для k=3 будет иметь следующий вид (таблица 8.5).

Из выражения (8.20) следует, что для трех учитываемых в эксперименте факторов X1, X2, X3 в ЦКРП потребуется проведение не менее 20 опытов (таблица 8.5) по сравнению с 15-ю опытами в случае применения ЦКОП (таблица 8.1). Причем, все эти дополнительные пять опытов проводятся в центре плана.

Матрица ЦКРП не соответствует условиям ортогональности для столбцов с квадратичными членами полинома (8.3), поэтому оценка коэффициентов не будет являться независимой. Но этот недостаток ЦКРП компенсируется более высокой точностью определения Y во всех направлениях на одинаковом расстоянии R от центра плана. При этом следует учитывать, что ЦКРП использует независимую оценку коэффициентов полинома при линейных его членах, проведенную по результатам предыдущего полного или дробного факторного эксперимента.

Таблица 8.5– Матрица ЦКРП