Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Симплексный метод. Симплексом называют выпуклую фигуру (или тело), образованную k+1 вершинами в пространстве k факторов




 

Симплексом называют выпуклую фигуру (или тело), образованную k+1 вершинами в пространстве k факторов, причем эти k+1 вершин не принадлежат одновременно ни одному из подпространств из k-1 факторов. Симплекс называется регулярным, если все расстояния между его вершинами равны. В пространстве одного фактора (k=1) симплексом служит отрезок установленного размера, при k=2 – треугольник, при k=3 – тетраэдр. При k³4 привычным образом интерпретировать симплекс невозможно.

Симплексный метод позволяет совмещать пробные опыты для определения направления движения с рабочим движением по поверхности отклика к области оптимума. Основная идея симплексного метода в следующем. Если во всех k+1 вершинах симплекса поставить опыты и измерить отклик, то (при не слишком большом уровне шумов) по величине отклика в вершинах можно судить, в каком направлении следует двигаться, чтобы приблизиться к экстремуму. После проведения серии опытов, поставленных в вершинах правильного симплекса, определяется точка, соответствующая условиям, при которых получаются наихудшие результаты. Затем используется важное свойство симплекса, по которому из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин, получить новый, заменив отброшенную вершину ее зеркальным отражением относительно противоположной его грани. Если отбросить точку с наихудшими результатами и построить на оставшейся грани новый симплекс, то его центр будет смещен в направлении: худшая точка – центр тяжести остальных точек, то есть в направлении к экстремуму. Затем процесс отбрасывания вершины с наихудшим значением целевой функции и построения нового симплекса повторяется. Если значение выхода в новой вершине снова окажется наихудшим, то нужно вернуться к исходному симплексу и отбросить следующую по порядку вершину с плохим результатом. В результате этого образуется цепочка симплексов, перемещающихся в факторном пространстве к точке экстремума. Таким образом, движение к экстремуму осуществляется путем зеркального отражения точки с наихудшими результатами относительно центра противоположной грани симплекса.

Порядок работы при использовании симплексного метода следующий:

1 – Выбирают начальную точку С1, а также интервалы варьирования Δxi для всех факторов (i=1, 2, …, k).

2 – Выбирают безразмерную величину rсим стороны (или ребра) симплекса в относительных единицах по отношению к интервалам варьирования Δxi . Наиболее просто выбрать rсим=1. Стремятся, чтобы в безразмерных единицах стороны симплекса были равны.

3 – Вычисляют координаты остальных вершин начального симплекса. Обычно для этого используют следующее правило. Через начальную точку С1 проводят осевые линии, параллельные координатным осям, и выбирают квадрант, в котором по предположению, должен располагаться экстремум целевой функции. В начальную точку помещают вершину симплекса С1 (рисунок 10.5), а сам симплекс I располагают так, чтобы его стороны образовали с осевыми линиями равные углы.

При таком расположении начального симплекса координаты его вершин определяют с помощью матрицы (таблица 10.1), в которой даны координаты вершин (k+1)-мерного симплекса в n-факторном пространстве.

 

x2

 

C12

C10

C13 C8

C11C7

C14 C9 C6

C5

C4

C3

C2

x20 C1

qΔx1

x10 x1

pΔx1

 

Рисунок 10.5 – Поиск экстремума функции отклика симплексным методом

 

Безразмерные относительные величины p и q при таком расположении симплекса определяют по формуле:

(10.20)

На рисунке 10.5 показаны размеры pΔx1 и qΔx1 для случая rсим=1. Если принимают rсим¹1, то Δxi умножают еще на rсим. Знаки Δxi зависят от номера квадранта, в котором расположен начальный симплекс. Для k=2 имеем p≈0,966, q≈0,259.

 

Таблица 10.1 –Задание координат вершин симплекса

Факторы xi x1 x2 x3 xi xk
Вершина C1 x10 x20 x30 xi0 xk0
Вершина C2 x10+pΔx1 x20+qΔx2 x30+qΔx3 xi0+qΔxi xk0+qΔxk
Вершина C3 x10+qΔx1 x20+pΔx2 x30+qΔx3 xi0+qΔxi xk0+qΔxk
  …       …   …   …   …   …
Вершина Ci+1 x10+qΔx1 x20+qΔx2 x30+qΔx3 xi0+pΔxi xk0+qΔxk
  …       …   …   …   …   …
Вершина Ck+1 x10+qΔx1 x20+qΔx2 x30+qΔx3 xi0+qΔxi xk0+pΔxk

 

4 – В вершинах симплекса выполняют наблюдения отклика и сравнивают по величине; выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее относительно противолежащей стороны или грани; находят вершину следующего симплекса II, n вершин которого одновременно являются и вершинами предыдущего симплекса I. Координаты отраженной вершины вычисляют по формуле

(10.21)

где i – номер фактора (i=1, 2, …, k);

l – номер вершины m-го симплекса, где обнаружен минимальный (в случае нахождения максимума) отклик;

m+1 – номер последующего симплекса, содержащего отраженную вершину (ей условно присваивают тот же номер l);

k – число факторов.

Если минимальный отклик оказался сразу в двух вершинах, то вопрос, какую из них отражать, решают произвольно.

5 – Ставят эксперимент в отраженной вершине нового симплекса и отклик в ней сравнивают с откликами в остальных вершинах, а затем снова выбирают вершину с минимальным откликом и отражают ее через противолежащую сторону (или грань) симплекса. Если в новой вершине (m+1)-го симплекса отклик оказался опять минимальным, то возвращаются к m-му симплексу и отражают вторую по минимальности вершину. Если это явление повторяется, то отражают третью по минимальности вершину и так далее.

6 – Эксперимент продолжают до тех пор, пока симплекс не совершит полный оборот вокруг одной из вершин. На рисунке 10.5 это вершина С11.

Точность нахождения точки экстремума зависит от двух причин: размера симплекса и влияния помех. Для уточнения положения экстремальной точки статического объекта в последних симплексах рекомендуется ставить параллельные опыты, чтобы снизить влияние помех, а также выполнить опыт в середине того симплекса, в вершинах которого отклик оказался максимальным по сравнению с остальными симплексами.

Достоинства симплексного метода:

– достаточно высокая помехоустойчивость в смысле выбора направления движения к экстремуму;

– изучение поверхности отклика сочетается с одновременным рабочим движением к экстремуму;

– при оптимально выбранном размере симплекса обеспечивается высокая скорость выхода к области экстремума;

– высокая оперативность, позволяющая использовать этот метод особенно для непрерывной оптимизации объектов с дрейфующим экстремумом.

Недостатки метода:

– метод не позволяет непосредственно получать математическое описание изучаемого участка поверхности отклика, как, например, в методе Бокса-Уилсона;

– в условиях пологих поверхностей отклика симплексный метод дает менее точное решение, чем метод крутого восхождения.

 

10.7Решение типового примера

Пример Оптимизация процесса проводится в соответствии с априорной информацией по трем факторам: температура испарения (А), температура подложки при осаждении (В) и термообработки (С) резистивных пленок рения. Значения переменных при исследовании свойств резистивных пленок приведены в таблице 10.2.

Таблица 10.2 – Значения переменных при исследовании резистивных пленок

Фактор А В С
Кодовые обозначения X1 X2 X3
Основной уровень Xi0 25000С 4000С 4000С
Интервал варьирования ΔXi 500С 500С 500С

Решение В результате исследования получено математическое описание исследуемой области (процесс получения модели представлен в практическом занятии №6)

Yt=2,15 – 0,1X– 0,1X– 0,2X,

где Ytтеоретическое значение функции отклика (параметр оптимизации), в качестве которого выбран температурный коэффициент сопротивления резистивных пленок (ТКС·104/0C);

Xiб – приведенные переменные (безразмерные значения факторов), полученные по (10.13).

Последовательность процесса оптимизации представлена в таблице 10.3.

Таблица 10.3 – План проведения и результаты эксперимента, проведенного методом крутого восхождения

Факторы X1 X2 X3   Значения функции отклика
Коэффициент bi -0,1 -0,1 -0,2
biΔXi -5,0 -5,0 -10,0
Шаг варьирования 5,00С 5,00С 10,00С
Исходная (начальная) точка 25500С 4500С 4500С Yξt Yξ
Первый реализованный опыт Второй реализованный опыт Третий реализованный опыт Четвертый реализованный опыт Пятый реализованный опыт 25700С 25900С 26100С 26300С   26500С 4700С 4900С 5100С 5300С   5500С 4900С 5300С 5700С 6100С   6500С 1,50 1,25 1,00 0,80   0,55 1,70 1,40 1,30 1,00   1,10

По программе «крутого восхождения» (таблица 10.3) намечены так называемые «мысленные опыты» и некоторые их них (через три) реализованы для проверки соответствия теоретического значения, предсказанного для j-го опыта (Yξt) полученным в результате ПФЭ уравнением, и соответствующего экспериментального значения (Yξ). Пятый опыт не показал уменьшения ТКС по сравнению с четвертым реализованным, и экспериментальное значение ТКС Yξ=1,1 существенно отличается от его теоретического значения Yξt=0,55. Поэтому продолжать движение в прежнем направлении не имеет смысла. Целесообразно поставить новую серию опытов с центром в точке 4 (как имеющей наилучший результат) и найти новое направление для движения к экстремуму.

 


Поделиться:

Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 60; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты