КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
x, Δy и Δz - абсолютные ошибки в измерении величины x, y и z
По формуле (82) вычисляется максимально возможная ошибка, поэтому все ее члены берутся по абсолютному значению и суммируются.
В действительности, при проведении измерений ошибка может быть значительно меньше, так как входящие в (82) слагаемые могут иметь разные знаки, однако в наихудшем варианте все три слагаемые будут иметь один и тот же знак, что даст максимально возможную ошибку.
Часто требуется найти максимально возможную относительную ошибку δw=Δw/w . Её можно получить, разделив (82) на W, т.е.:
| (83) |
Формула (83) является общей, по ней можно вычислить максимально возможную ошибку искомой величины w при любой функциональной зависимости w=f(x,y,z).
Для выражения δw в процентах формулу (83) следует умножить на 100.
В дополнение к общей формуле рассмотрим несколько частных случаев.
Очень часто встречается случай, когда искомая величина w определяется как произведение измеряемых величин x, yиz в различных степенях и постоянной А, т.е.:
| w=A·xα · yβ · zγ | (84) |
Причем α, βи γмогут быть любыми положительными или отрицательными числами. Заметим, что формула (84) охватывает случаи, описанные формулами (80) и (81).
Для функциональной зависимости (84) можно получить более конкретное выражение для подсчета максимально возможной относительной ошибки величины.
Возьмем производные, входящие в (83):
| (85) |
Подставив в (83) эти значения и значение w по (84), получим:
| (86) |
Откуда:
| (87) |
Обозначая относительные ошибки величин, непосредственно измеряемых в опыте:
| (88) |
Окончательно получаем:
| δw=|αδx|+|βδy|+|γδz| | (89) |
Эта формула еще больше упрощается, если α, βиγ равны единице или единице с минусом. Тогда получим:
| δw=|δx|+|δy|+|δz| | (90) |
Последнее можно сформулировать следующим образом: если искомая
величина w является произведением постоянной и измеряемых величин x, yиz в первой или минус первой степени, то относительная ошибка искомой величины w является суммой относительных ошибок этих измеряемых величин.
Разберем другой случай. Пусть:
| w = x + y + z | (91) |
Определим величину максимально возможной относительной ошибки. Согласно (83) получим:
| (92) |
Однако чаще всего бывает желательно выразить относительную ошибку искомой величины через относительные ошибки величин, измеряемых в опыте, а не через абсолютные, как это сделано в формуле (92).
Для этого преобразуем каждое слагаемое в (92):
| (93) |
Тогда для функциональной зависимости (92) получим формулу для расчета ошибки:
| (94) |
Вполне естественно, что формулы (83) - (94) могут быть распространены на любое число переменных.
Величина относительной ошибки искомой величины в (89), (90) и (94) будет выражена в процентах, если δx, δyиδz подставляются также в процентах.
Особо следует остановиться на случае, когда искомая величина w определяется как разность двух измеряемых в опыте величин, т.е.:
| w= x – y | (95) |
Если величины x и у близки друг другу по величине, то вследствие погрешностей этих величин искомое значение w может получиться с очень большой ошибкой, что совершенно неприемлемо.
Разберем следующий пример. Пусть величина x = 50 и измерена с точностью ± 1, т.е. с ошибкой ± 2 %. Пусть величина y = 45 и измерена с точностью также ± 1, т.е. ошибка составляет ± 2,22 %,
Вычислим величину w совместно с максимальной абсолютной погрешностью:
| w= x – y = (50 ± 1) – (45 ± 1)= 5 ± 2. |
Таким образом, несмотря на то, что погрешность в измерениях xиy так уж велика (2 и 2,22 %), погрешность в искомой величине получается очень большая, т.е.:
|
Применяя к этому случаю формулу (81), получаем тот же результат:
|
Приведенный пример показывает, что надо крайне осторожно идти на такие измерения, при которых приходится вычитать близкие друг к другу по величине числа.
В таблице расчетных формул 1 приведены формулы для расчета максимально возможной относительной ошибки для некоторых функциональных зависимостей. В этой таблице через А, В, С, Д; α, β, γ и l обозначены численные коэффициенты, а через x, y, zи υ - величины, непосредственно измеряемые в эксперименте; δx, δy, δzи δυ - относительные ошибки измеряемых величин, а δw - максимально возможная относительная ошибка искомой величины.
3. Повышение точности и вычисление вероятной ошибки при многократных измерениях.
Выше уже говорилось о том, что при проведении многократных измерений заданной величины при одних и тех же параметрах случайные ошибки проявляются в разбросе получаемых данных.
Если проведено несколько измерений искомой величины, то вполне
естественно, что наиболее достоверным результатом является средне
арифметическая величина из всех измерений. Используя в качестве
окончательного результата это среднеарифметическое значение, можно
в значительной мере снизить влияние случайных ошибок при измерениях.
Естественно, что чем больше произведено измерений, тем с большей
уверенностью исключаются случайные ошибки, и в пределе при бесконечно
большом числе измерений окончательный результат будет содержать
лишь систематическую ошибку.
Абсолютная случайная ошибка при нескольких измерениях величины
вычисляется по формуле:
| (96) |
В этой формуле n - число измерений, wcp - среднеарифметическое значение из всех полученных величин w т.е.:
| wcp=Σw/n | (97) |
Ошибка, вычисляемая по (96), называется квадратичной. Из самого вида (96) ясно, что при n → ∞ ошибка Δwкв → 0.
Однако функция (96) такова, что увеличение количества измерений с 2 до 5 сильно снижает эту ошибку; с 5 до 10 - несколько меньше, а увеличение количества измерений, например с 20 до 30, уже очень мало меняет величину этой ошибки.
Заметим, что для вычисления рассматриваемой ошибки необходимо иметь полученные в результате эксперимента величины w, что не всегда требовалось для оценки ошибки отдельного измерения.
Таблица расчетных формул 1
| Обозначения | Расчетная формула искомой величины | Формула для определения максимально возможной относительной ошибки |
| а | w = A · x · y · z | δw = δx + δy + δz |
| б | w = A · xα · yβ · zγ | δw = αδx + βδy + γ δz |
| в | 
| δw = αδx + βδy + γ δz + lδυ |
| г | 
| δw = δx + δy + δz + δυ |
| д | w = x ± y ± z | 
|
| е | w = Ax ± By ± C z | 
|
| ж | 
| 
|
| з | 
| 
|
| и | w = A ± Bx | 
|
| к | w = A lnx | 
|
| л | w = A eαx | δw = α x δx |
| ПРИЛОЖЕНИЕ |
Таблица 1.
Теплофизические свойства сухого воздуха (В=760 мм рт. с.)
| t, °С | λ∙102, Вт/(м∙К) | ν∙106, м2/с | Pr |
| 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 160 200 250 300 | 2,44 2,51 2,59 2,67 2,76 2,83 2,90 2,96 3,05 3,13 3,21 3,34 3,49 3,64 3,78 3,93 4,27 4,60 | 13,28 14,16 15,08 16,00 16,96 17,95 18,97 20,02 21,09 22,10 23,13 25,45 27,80 30,09 32,49 34,85 40,61 48,33 | 0,707 0,705 0,703 0,701 0,699 0,698 0,696 0,694 0,692 0,690 0,688 0,686 0,684 0,682 0,681 0,680 0,677 0,674 |
Список литературы.
1. Исаченко В.П. и др. Теплопередача: Учебник для вузов. 4 – е изд. перераб. И доп. М.: Энергоиздат,1981.416 с.
2. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов. / С.И. Исаев, И.А.Кожинов, А.И.Леонтьев, В.И.Кофанов. М.: Высш. шк. 1979. 195 с.
3. Практикум по теплопередаче: Учебник для вузов. / А.П.Содов, Ф.Ф.Цветков, А.В.Елисеев, В.А. Осипова. М.: Энергоатомиздат, 1986.296 с.
4. Теоретические основы хладотехнике. Тепломассообмена: Учебник для вузов. / С.Н.Богданов, Н.А.Бучко, Э.И.Гуйко, Г.Н.Данилова. М.: Агропромиздат,1986. 320 с.
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 99; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |