Параболы

Обычно построение параболы, графика квадратичной функции , затруднений не вызывает. Напомним все же, что построение надо начинать с нахождения вершины параболы. Она находится в точке с координатами . Затем нужно найти точку пересечения с осью Оу: . Этих точек достаточно для построения. В некоторых случаях удобно в квадратном трехчлене выделить полных квадрат: . Если квадратичная функция задана в виде , то — координаты вершины. Вертикальная прямая , проходящая через вершину параболы, является для нее осью симметрии. Множество значений квадратичной функции — это луч, конец которого является ординатой вершины параболы, т. е. либо , если , либо , если .

7. Найти множество значений функции . При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Решение. Находим множество значений знаменателя: ). Следовательно, множество значений дроби — это промежуток . Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда принадлежит множеству значений функции . Отсюда . Ответ: ; .

8. Найти множество значений функции . При каких значениях параметра уравнение имеет решение? Решение. Находим множество значений знаменателя: . Каково множество значений функции на промежутке ? Изобразите сами график и отметьте на нем точки, соответствующие . Получаем, что множество значений дроби — это объединение лучей . Ответ: ; .

9. При каких значениях множество значений функции совпадает с лучом ? Решение.Находим множество значений функции . Так как вершина имеет координаты , то множество значений — либо луч , либо луч . Потребуем, чтобы выполнялось равенство , отсюда , . Из двух значений нужно выбрать отрицательное, так как ветви должны быть направлены вниз. Ответ: .

10. При каких область определения функции совпадает с множеством значений функции ? Решение. Находим область определения функции : , т. е. луч . Находим множество значений функции : . Потребуем, чтобы эти множества совпадали: , . Ответ: .

11. При каких вершина параболы лежит а) на прямой ; б) выше этой прямой? Решение. Находим координаты вершины параболы: . Чтобы эта точка лежала на прямой , нужно, чтобы выполнялось равенство , . Чтобы эта точка выше прямой, нужно, чтобы выполнялось неравенство , отсюда , . Ответ: ; .